Vzdělání:Věda

Russell Paradox: pozadí, příklady, formulace

Russell paradox je dva vzájemně provázané logický protiklad.

Dvě formy Russellův paradox

Nejčastěji diskutovaným forma rozpor logických sad. Některé sady se zdá být samotní členové, a jiní - ne. Množina všech množin je sám o sobě set, takže se zdá, že se odkazuje na sebe. Null nebo prázdné, by však nemělo být členem sebe. Proto je množina všech souborů, jako nula není zahrnuta do sebe. Paradox nastává, když otázka, zda sady člena sebe. To je možné pouze v případě, že není.

Další forma paradox je spor týkající se vlastností. Některé vlastnosti, zdá se, odkazovat se na sebe, zatímco jiní ne. Vlastnost být vlastnost sama o sobě je vlastnost, zatímco vlastnost ať už je to kočka není. Vezměme si vlastnost, která má vlastnost, která nepatří k němu. pokud se vztahuje na sebe sama? Opět platí, že některý z předpokladů by měl být opačný. Tento paradox byla pojmenována na počest Bertrand Russell (1872-1970), který ji objevil v roce 1901.

příběh

Otevření Russell došlo během jeho práce na „Principy matematiky“. I když objevil paradox samostatně, existují důkazy o tom, že další matematici a vývojáři z teorie množin, včetně Ernst Zermelo a David Hilbert, si byli vědomi první verze rozporů před ním. Russell však byl první, kdo podrobně popsány paradox v jeho publikovaných prací, nejprve pokusil formulovat řešení a první plně ocenit jeho význam. Celá kapitola „Zásad“ byla věnována diskusi o této problematice, a žádost byla věnována teorii typů, které Russell navržena jako řešení.

Russell objevil „paradox lháře‘, s ohledem na teorii množin Cantor, že říká, že síla jakýkoliv soubor je menší než soubor jejích podskupin. Alespoň v oblasti by měla být co nejvíce podskupiny, jak jsou elementy v tom, je-li jedna podmnožina každého prvku je nastavena obsahující pouze tento prvek. Kromě toho, Cantor ukázal, že počet prvků nemohou rovnat počtu podskupin. Jestliže tam byl stejný počet, musela by existovat ƒ funkci, která by indikační prvky na jejich podskupin. Zároveň to může být prokázáno, že je to nemožné. Některé položky mohou být zobrazeny na podskupin Funkce ƒ, které je obsahují, zatímco jiní nemohou.

Zvážit podmnožinu prvků, které nepatří do svých obrazů, ve kterém oni zobrazují ƒ. To je samo o sobě souboru prvků, a proto, ƒ funkce by zobrazit ji na prvek v doméně. Problém je, že vyvstává otázka, zda je tento prvek patří do podskupiny, na které se zobrazuje ƒ. To je možné pouze tehdy, pokud to nepatří. Russellův paradox může být viděn jako příklad stejného důvodu, pouze zjednodušeny. A co víc - množiny nebo podmnožiny množiny? Mohlo by se zdát, že by mělo být více sad, jako všech podskupin samotných souprav. Ale pokud cantorova věta pravdivá, pak by mělo být více podskupin. Russell považován jednoduše zobrazit soubory na sebe a aplikovat kantoriansky přístup s ohledem na množinu všech těchto prvků, mimo souboru, ve kterém jsou zobrazeny. Ukazující Russell stane množina všech souborů, non.

chyba Frege

„Paradox lháře“ měl hluboký dopad na historický vývoj teorie množin. Ukázal, že koncept univerzální sady je velmi problematické. On také zpochybnil názor, že pro každý definovaný stav nebo predikát může převzít existenci většího počtu pouze ty věci, které splňují tuto podmínku. Varianta paradox týkající se vlastností - přirozené rozšíření na verzi sady - vyvolává vážné pochybnosti o tom, zda je možné se dohadovat o objektivní existenci majetku nebo univerzální shodě ke každému dán stavu nebo predikátu.

Brzy byly nalezeny rozpory a problémy v práci logiků, filozofové a matematici, kteří dělali podobné předpoklady. V roce 1902, Russell zjistili, že variantou paradoxu lze vyjádřit v logickém systému, který byl vypracován ve Svazku I Gottlob Frege je „Základy aritmetiky“, jeden z hlavních prací na logice pozdního XIX - počátku XX století. Ve filozofii Fregeho mnoho chápat jako „rozšíření“ a pojem „hodnota dosahu“. Tyto pojmy jsou nejblíže k těm koreláty. Očekává se, že existují pro daný stav nebo predikátu. Proto je pojem množiny, která nespadá pod jeho definující konceptu. Tam je také třída definované tímto konceptem, a to je předmětem definovat svou koncepci pouze v případě, že není.

Russell psal Frege o tomto konfliktu v červnu 1902 Korespondence se stal jedním z nejvíce vzrušujících a mluvil o v historii logiky. Frege okamžitě poznala katastrofální důsledky paradox. Poznamenal však, že je verze kontroverze ohledně vlastnosti v jeho filozofii byl vyřešen tím, že rozlišuje mezi pojmy úrovních.

Frege představa chápat jako přechod z argumentů funkce PRAVDA. Pojetí první úroveň brát jako argumenty objekty druhé pojetí úrovně berou jako argumenty těchto funkcí, a tak dále. To znamená, že pojem nikdy nemůže sám jako argumentu, a paradox, pokud jde o vlastnosti nemohou být formulovány. Přesto soupravy, expanze nebo koncepty Frege chápat tak, že odkazuje ke stejnému logickému typu jako všech ostatních objektů. Pak pro každé sadě je otázka, zda spadá pod pojem definovat to.

Když Frege, Russell obdržel první dopis, druhý díl „Základy aritmetiky“ už je dokončen tisk. Byl nucen rychle připravit aplikaci, která dává odpověď na paradoxu Russella. Příklady Frege obsahoval řadu možných řešení. Ale došel k závěru, oslabit koncept abstrakce sady v logickém systému.

V původním, bylo možné dojít k závěru, že objekt patří do množiny tehdy a jen tehdy, pokud spadá do pojmu, definuje ji. Revidovaný systém může pouze konstatovat, že objekt patří do množiny tehdy a jen tehdy, pokud spadá pod pojem definuje větší, ale není nastaven v pochybnost. Russellův paradox vzniká.

Řešením však není zcela spokojen s Frege. A to byl důvod. O několik let později, složitější forma rozporu bylo zjištěno u revidovaného systému. Ale ještě předtím, než se to stalo, Frege opustil své rozhodnutí a zdá se, že dospěla k závěru, že jeho přístup byl prostě neuskutečnitelná a ta logika bude muset obejít bez jakýchkoli souborů.

Stále byly navrženy další, relativně úspěšné alternativní řešení. Tyto jsou popsány níže.

Teorie typů

To bylo uvedeno výše, že Frege byl odpovídající reakcí na paradoxy teorie množin ve znění formulovaných pro vlastnosti. Frege reakce předcházelo nejčastěji diskutované řešení této formy paradoxu. Je založen na tom, že tyto vlastnosti jsou předmětem různých typů a jaký typ nemovitostí není nikdy stejný jako jeden z bodů, na které se odkazuje.

Tak vzniká dokonce ani otázka, zda je tato vlastnost použitelná pro sebe. Logický jazyk, který odděluje prvků takové hierarchie, pomocí teorie typů. I když je již používán Frege, poprvé je plně vysvětlena a zdůvodněna Russell v příloze „princip“. Teorie typů bylo sofistikovanější než právě rozdílu hladin Fregeho. Sdílela vlastnosti nejsou jen různé druhy logiky, ale také nastavit. typ teorii vyřešit rozpor v paradoxu Russell následovně.

Aby bylo filosoficky adekvátní, přijetí teorie typů nemovitostí vyžaduje vývoj teorie o povaze vlastností tak, aby mohl vysvětlit, proč nemohou být použity pro sebe. Na první pohled to dává smysl, aby vypovídají svůj vlastní majetek. Vlastnictví bytí self-identita, jak se zdá, je to také self-identity. V objektu se zdá být pěkný příjemné. Stejným způsobem, zdá se, že se zdá falešné říkat, že vlastnost, že je kočka, je kočka.

Nicméně, různé myslitelé odůvodnil rozdělení různých typů. Russell dokonce dal různé vysvětlení v různých časech v jeho kariéře. Pro jeho část, odůvodnění pro separaci různých koncepcí úrovní Frege pochází z jeho teorii nenasycených konceptů. Pojmy jako funkce, v podstatě jsou neúplné. Poskytnout hodnotu, je třeba argument. Nemůžete jen jeden konceptu až predikovat koncept stejného typu, protože to stále vyžaduje svůj argument. Například, i když je možné, aby se druhá odmocnina druhá odmocnina z počtu, nemůžete jen použít odmocniny funkci odmocniny a získat výsledek.

O vlastnostech konzervatismus

Dalším možným řešením je paradox vlastnosti negace vlastnosti existence za všech daných podmínek, nebo dobře vytvořené predikátu. Samozřejmě, že pokud se někdo vyhýbá metafyzické vlastnosti obou objektivních a nezávislých prvků jako celek, vezmeme-li v nominalism paradox lze vyhnout úplně.

Aby však bylo možné vyřešit protiklad nemusí být tak extrémní. Logické vyššího řádu systémy vyvinuté Frege a Russell, obsahuje to, co se nazývá koncepční princip, podle kterého každý otevřené vzorce bez ohledu na to, jak složité existuje jako součást majetku nebo koncepce, například, pouze ty, které odpovídají vzorci. Jsou použity k atributům každého možného souboru podmínek nebo predikáty, bez ohledu na to, jak složité jsou.

Přesto, že bylo možné přijmout přísnější metafyziku vlastnosti, dává právo na objektivní existenci jednoduchých vlastností, zahrnující například, jako je červená barva, pevnost, laskavosti a tak dále. D. Dokonce si můžete nechat tyto vlastnosti se vztahují k sobě, jako je laskavost může být laskavý.

A stejný status pro komplexní atributy může být odepřen, například takové „vlastnosti“, jak má sedmnáct hlavy, být napsaný pod vodou a podobně. D. V tomto případě není předem určený stav nesplňuje vlastnost, chápaná jako samostatně stávající prvek, který má své vlastní vlastnosti. Tak lze popřít existenci jednoduchých vlastností je-vlastnost, že-non-použita k sobě a vyhnout paradox použitím více konzervativní metafyzické vlastnosti.

Russellův paradox: roztok

Výše bylo uvedeno, že na konci svého života Frege zcela opuštěn logiku sad. To samozřejmě, jedním z řešení na protikladu v podobě sady: jednoduchá popření existence takových prvků jako celku. Kromě toho existují i další populární volbou, základy z nich jsou uvedeny níže.

Teorie pro mnoho typů

Jak již bylo zmíněno, Russell hrál pro více kompletní teorie typů, kteří by sdílejí nejen vlastnosti nebo koncepty pro různé typy, ale také nastavit. Russell sdílené nastavení na více samostatných jednotek, větší počet souborů jednotlivých objektů apod nebyly považovány za Množiny objektů, a větší počet souborů - .. sad. Mnoho nikdy neměly typ, můžete mít jako člen sám o sobě. Proto není množina všech souborů, které nejsou členy jeho vlastní, protože pro každou sérii otázek o tom, zda je jako člen, je sama o sobě typ porušení. Opět platí, že problém zde je vysvětlení metafyziku sady vysvětlit filozofické základy dělení do typů.

stratifikace

V roce 1937, V. V. Kuayn nabídla alternativní řešení, a to způsobem podobným teorie typů. Základní informace o něm jsou.

Separační sady a dalších prvků. Provedeny tak, že předpoklad zjištění množství vždy je nesprávné nebo bezvýznamný. Sestavy mohou být poskytnuty pouze v případě definování jejich podmínky nejsou typu porušení. Tak Quine, výraz „x není členem x“ je smysluplné prohlášení neznamená existenci množiny všech prvků x, které splňují tuto podmínku.

V tomto systému existuje sada pro nějaké otevřené vzorce A pouze v případě, že je rozvrstven, t. E. V případě, že proměnné jsou přiřazeny pozitivní celá čísla taková, že pro každého charakteristického výskytu většího počtu předcházelo proměnné je přiřazen přiřazovací jednotka menší než proměnná, následujícího po něm. To blokuje Russellův paradox, jelikož vzorec použitý k určení sady problém, tam je stejná před a po proměnná členství znamení dělat to unstratified.

Má však ještě zjistit, zda výsledného systému, který Quine nazývá „nové základy matematické logiky“ konzistentní.

odmítnutí

Zcela jiný přístup se používá v teorii Zermelo - Fraenkel (ZF). I v tomto případě stanovit limit na existenci souborů. Namísto toho se blíží k „top-down“ Russell a Frege, kteří původně myslel, že u všech pojmů, vlastností nebo podmínek může naznačovat existenci množiny všech věcí s tímto majetkem, nebo k úhradě takového stavu, v ZF teorii, začíná všechno „od spodu nahoru.“

Jednotlivé prvky prázdné množině a tvoří jeden celek. Proto, na rozdíl od dřívějších systémů a Russell Frege FIT nepatří do univerzální sadě, která obsahuje všechny prvky, a dokonce i všechny soubory. ZF stanovuje přísné limity na existenci souborů. Mohou existovat pouze ty, pro které se jasně předpokládá, nebo které mohou být formulovány pomocí iteračních postupů a podobně. D.

Poté, namísto pojmu abstrakce naivní sadě, která uvádí, že konkrétní prvek je součástí sestavy, jestliže a pouze v případě, že splňuje podmínky v separační princip použitý DF, separace nebo „třídící“. Místo toho, aby za předpokladu existence množinu všech prvků, které jsou bez výjimky splňovat určité podmínky, pro každou existující sady Aussonderung naznačuje existenci podmnožiny všech prvků v původní sadě, která splňuje podmínku.

Pak přijde abstrakce princip: v případě, že množina A existuje, pak pro všechna x v A x patří do podmnožiny A, která splňuje podmínku právě tehdy, když x splňuje podmínku C. Tento přístup řeší paradox Russella, protože nemůžeme jednoduše předpokládat, to znamená, že množina všech souborů, které nejsou členy sebe.

Mají spoustu sad, můžete vybrat nebo rozdělit do sad, které jsou samy o sobě, a ty, kteří nejsou takové, ale protože neexistuje univerzální sada nejsme vázáni množinu všech sad. Aniž by za předpokladu, že problém nastaví Russell rozpor nelze prokázat.

jiná řešení

Kromě toho došlo k následné rozšíření nebo modifikace těchto roztoků, jako je například teorie vidlicového typu „Principy matematiky“ expanzních systém „matematická logika“ Quine, stejně jako více nedávný vývoj teorie množin, vyrobený Bernays, Gödel a von Neumanna. Otázka, zda je odpověď na nerozpustné paradox Bertranda Russella nalezen, je stále předmětem diskuse.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 cs.delachieve.com. Theme powered by WordPress.