Vlastnosti logaritmů, nebo překvapivé ...

Potřeba výpočtu se okamžitě objevila v osobě, jakmile byl schopen kvantitativně posoudit okolní objekty. Lze předpokládat, že logika kvantitativního vyhodnocování postupně vedla k potřebě výpočtů "sčítání-odečítání". Tyto dvě elementární akce jsou zpočátku základní - všechny ostatní manipulace s čísly, známé jako násobení, dělení, exponentiace atd. - Jedná se o jednoduchou "mechanizaci" některých výpočetních algoritmů založených na nejjednodušší aritmetice - "add-subtract". Ať už to bylo cokoliv, tvorba algoritmů pro výpočet je velkým úspěchem myšlení a jejich autoři navždy opouštějí svou známku v paměti lidstva.

Před šesti nebo sedmi stoletími v oblasti námořní navigace a astronomie se zvýšila potřeba velkých objemů výpočtů, což není překvapující, protože To je středověk, který je známý pro rozvoj navigace a astronomie. V přesném souladu s výrazem "potřeba vytváří větu" několika matematiků, nápad se objevil - nahradit velmi namáhavou operaci vynásobení dvou čísel jednoduchým doplněním (myšlenka nahrazení rozdělení odčítáním byla zvažována dvojím způsobem). Pracovní verze nového systému výpočtů byla vyvinuta v roce 1614 v díle Johna Napiera s velmi pozoruhodným názvem "Popis úžasné tabulky logaritmů". Samozřejmě pokračovalo další vylepšení nového systému, ale základní vlastnosti logaritmu byly vytyčeny Neperem. Myšlenka výpočetního systému pomocí logaritmů byla, že jestliže řada čísel tvoří geometrický postup, pak jejich logaritmy také tvoří progres, ale aritmetický. Za přítomnosti předem sestavených tabulek nová výpočtová technika zjednodušila výpočty a první logaritmický pravítko (1620 ) se stalo pravděpodobně první starou a velmi účinnou kalkulačkou, nepostradatelným inženýrským nástrojem.

Pro průkopníky je cesta vždy nerovná. Zpočátku byla základna logaritmu provedena neúspěšně a přesnost výpočtů nebyla vysoká, ale již v roce 1624 byly publikovány revidované tabulky s desetinnou základnou. Vlastnosti logaritmu vycházejí z podstaty definice: logaritmus čísla b je číslo C, které jako síla základny logaritmu (číslo A) vede k číslu b. Klasická varianta položky vypadá takto: logA (b) = C - co se čte takto: logaritmus b, na bázi A, je číslo C. Chcete-li provést akce pomocí poměrně běžných logaritmických čísel, musíte znát určitou sadu pravidel známých jako "vlastnosti" Logaritmy ". V zásadě platí, že všechna pravidla mají společný důsledek - jak přidat, odčítat a transformovat logaritmy. Nyní se naučíme, jak to udělat.

Logaritmická nula a jednotka

1. logA (1) = 0, logaritmus čísla 1 se z jakéhokoli důvodu rovná 0 - to je přímý důsledek zvýšení počtu na nulový výkon.

2. logA (A) = 1, logaritmus stejného čísla se základnou je 1 je také dobře známá pravda pro libovolné číslo v prvním stupni.

Přidání a odečítání logaritmů

3. logA (m) + logA (n) = logA (m * n) - součet logaritmu několika čísel se rovná logaritmu jejich produktu.

4. logA (m) - logA (n) = logA (m / n) - rozdíl mezi logaritmy čísel, podobně jako předchozí, se rovná logaritmu poměru těchto čísel.

5. logA (1 / n) = - logA (n), logaritmus inverzního čísla se rovná logaritmu tohoto čísla se znaménkem mínus. Je snadné vidět, že je to výsledek předchozího výrazu 4 pro m = 1.

Je snadné vidět, že pravidla 3-5 předpokládají v obou částech rovnosti stejnou základnu logaritmu.

Exponenty v logaritmických výrazech

6. logA (mn) = n * logA (m), logaritmus počtu n je rovný logaritmu tohoto čísla vynásobenému exponentem stupně n.

7. log (Ac) (b) = (1 / c) * logA (b), který se přečte jako "logaritmus čísla b, jestliže má základ formu Ac, je roven výsledku logaritmu b se základnou A a inverzní c".

Vzorec pro změnu základny logaritmu

8. logA (b) = logC (b) / logc (A), logaritmus čísla b s bází A na základnu C se vypočítá jako částečný logaritmus b s bází C a logaritmus s bází C číslem rovným předcházející základně A a Se znaménkem mínus.

Výše uvedené logaritmy a jejich vlastnosti umožňují při správném použití zjednodušit výpočet velkých číselných polí, čímž se zkracuje doba numerických výpočtů a poskytne se přijatelná přesnost.

Není vůbec překvapující, že ve vědě a technologii se vlastnosti logaritmu čísel používají pro přirozenější znázornění fyzických jevů. Například je všeobecně známo použití relativních hodnot - decibelů pro měření intenzity zvuku a světla ve fyzice, absolutní hvězdné magnitudy v astronomii, pH v chemii atd.

Účinnost logaritmických výpočtů lze snadno ověřit, například když se člověk učí a násobí 3 pětciferné čísla "ručně" (ve sloupci), pomocí tabulek logaritmu na listu papíru a pomocí logaritmického pravítka. Stačí říci, že v druhém případě budou výpočty trvat asi 10 sekund. Co je nejvíce překvapivé je to, že v moderní kalkulaci nebudou tyto výpočty trvat déle.