Úhlopříčka rovnostranný lichoběžník. Jaký je střední linie lichoběžníku. Druhy lichoběžníky. Trapeze - to ..

Trapézový je zvláštní případ čtyřúhelníku, ve kterém je jeden pár stran paralelní. Termín "lichoběžník" pochází z řeckého slova τράπεζα, což znamená "stůl", "stůl". V tomto článku se podíváme na typy lichoběžníků a jejich vlastnosti. Navíc pochopíme, jak vypočítat jednotlivé prvky této geometrické postavy. Například diagonál rovnostranného lichoběžníku, střední čára, oblast atd. Materiál je popsán ve stylu elementární populární geometrie, tj. Ve snadno přístupné podobě.

Obecné informace

Za prvé, uvidíme, jaký je čtyřúhelník. Toto číslo je zvláštní případ polygonu obsahující čtyři strany a čtyři vrcholy. Dva vrcholy čtyřúhelníku, které nejsou přilehlé, se nazývají opačné vrcholy. Totéž lze říci o dvou nesouvislých stranách. Hlavní typy čtyřúhelníků jsou rovnoběžník, obdélník, kosočtverec, čtverec, lichoběžník a deloid.

Takže, zpět k lichoběžníku. Jak již bylo řečeno, toto číslo má dvě strany, které jsou paralelní. Jsou nazývány základy. Další dvě (neparalelní) jsou strany. V materiálech zkoušek a různých zkouškách je velmi často možné splnit úkoly spojené s lichoběžníkovými systémy, jejichž řešení často vyžaduje, aby studenti měli znalosti, které program neposkytuje. Školní geometrie přináší studentům vlastnosti úhlů a diagonálů, stejně jako střední řadu lichoběžníkového lichoběžníku. Ale koneckonců, zmíněná geometrická postava má i další rysy. Ale o nich později ...

Typy lichoběžníků

Existuje mnoho druhů tohoto čísla. Nicméně, dva z nich jsou obvykle považovány za rovnoramenné a obdélníkové.

1. Pravoúhlý lichoběžník je postava, ve které je jedna z bočních stran kolmá k základnám. Má dva úhly, které se vždy rovnají devadesáti stupňům.

2. lichoběžníkový lichoběžník je geometrický obraz, jehož strany jsou navzájem stejné. To znamená, že úhly základen jsou rovnoběžné také ve dvojicích.

Hlavní principy techniky studování vlastností lichoběžníku

Hlavním principem je použití takzvaného problémového přístupu. Ve skutečnosti není zapotřebí zavádět nové vlastnosti tohoto čísla do kurzu teoretické geometrie. Mohou být otevřeny a formulovány v procesu řešení různých problémů (lepší systémové). Současně je velmi důležité, aby učitel věděl, jaké úkoly by měly být učiněny před školáky v jedné nebo jiné chvíli vzdělávacího procesu. Navíc každá vlastnost lichoběžníku může být reprezentována jako klíčový úkol v systému úkolů.

Druhým principem je tzv. Spirální uspořádání studia "pozoruhodných" trapézních vlastností. To znamená návrat procesu učení k jednotlivým vlastnostem daného geometrického tvaru. Studenti si tak snadněji pamatují. Například vlastnost čtyř bodů. To lze dokázat jak ve studiu podobnosti, tak později pomocí vektorů. A rovnost trojúhelníků přiléhajících ke stranám postavy může být prokázána použitím nejen vlastností trojúhelníků se stejnými výškami, které jsou nakloněny stranám ležícím na jedné řadě, ale také pomocí vzorce S = 1/2 (ab * sinα). Kromě toho lze vyřešit sinetickou větu na lichoběžníkově lichoběžníkový nebo pravý trojúhelník na popsaném lichoběžníku a tak dále.

Aplikace "neprogramových" rysů geometrické postavy v obsahu školního kurzu je obezřetnou technologií pro jejich výuku. Konstantní odvolání se k studovaným objektům v průchodu jiných témat umožňuje studentům lépe porozumět lichoběžníkovi a zajistit úspěch při řešení úloh. Takže začneme studovat tuto pozoruhodnou postavu.

Prvky a vlastnosti lichoběžníkového lichoběžníku

Jak jsme již poznamenali, v tomto geometrickém obrázku jsou strany stejné. Ona je také známá jako pravá lichoběžka. A proč je to tak pozoruhodné a proč se dostalo takového jména? Zvláštností tohoto čísla je, že nejen strany a rohy základen jsou stejné, ale také úhlopříčky. Kromě toho součet úhlů lichoběžníkového lichoběžníku je 360 stupňů. Ale to není všechno! Ze všech známých lichoběžníků může být kolem kruhu popsáno jen kolem osmičkových. To je způsobeno skutečností, že součet protilehlých úhlů na tomto obrázku je 180 stupňů, ale pouze za takových podmínek je možné popsat kruh kolem čtyřúhelníku. Další vlastností geometrického čísla je, že vzdálenost od horní části základny k projekci protilehlého vrcholu k čáře, která obsahuje tuto základnu, bude rovna střední čáře.

A teď pojďme zjistit, jak najít úhly lichoběžníkového lichoběžníku. Podívejme se na řešení tohoto problému za předpokladu, že jsou známy rozměry stran postavy.

Řešení

Obvykle je čtyřúhelník obvykle označen písmeny A, B, C, D, kde BS a AD jsou základy. V rovnoběžném lichoběžníku jsou strany stejné. Předpokládejme, že jejich velikost se rovná X a velikost základen se rovná Y a Z (menší a větší). Pro výpočet je nutné vykreslit výšku H. z úhlu B. V důsledku toho máme pravoúhlý trojúhelník ABN, kde AB je hypotenuse a BN a AN jsou nohy. Vypočítáme velikost AN: z většího základu odčítáme menší a výsledek rozdělíme o 2. Napíšeme ve tvaru: (ZY) / 2 = F. Nyní pro výpočet ostrého úhlu trojúhelníku použijeme funkci cos. Získáme následující notaci: cos (β) = X / F. Nyní vypočítejte úhel: β = arcos (X / F). Dále s vědomím jednoho rohu můžeme definovat druhou, proto děláme elementární aritmetickou akci: 180 - β. Všechny úhly jsou definovány.

Existuje také druhé řešení tohoto problému. Na začátku snižujeme výšku H z úhlu B. Vypočítáme hodnotu BN kate- gence. Víme, že čtverec hypotenze pravého trojúhelníku se rovná součtu čtverců nohou. Získáme: BN = √ (X2-F2). Dále používáme trigonometrickou funkci tg. V důsledku toho máme: β = arctg (BN / F). Je nalezen akustický úhel. Dále definujeme tupý úhel podobně jako první metoda.

Vlastnost diagonálů lichoběžníkového lichoběžníku

Nejprve zapíšeme čtyři pravidla. Pokud jsou úhlopříčky v lichoběžníkovitě lichoběžníkovitě kolmém, pak:

- výška obrázku bude rovna součtu základů dělených dvěma;

- jeho výška a střední linie jsou stejné;

- plocha lichoběžníku bude rovna čtverci výšky (střední čára, polovina součtu základen);

- čtvercová úhlopříčka se rovná polovině čtverce součtu základen nebo dvojitému čtverci střední čáry (výška).

Nyní zvažujeme vzorce, které určují diagonál rovnostranného lichoběžníku. Tento blok informací lze rozdělit do čtyř částí:

1. Vzorec pro délku úhlopříčky po stranách.

Předpokládejme, že A je dolní základna, B je horní, C je rovná strana a D je diagonální. V tomto případě lze délku stanovit takto:

D = √ (C2 + A * B).

2. Vzorec pro délku diagonály kosinkovou větu.

Předpokládejme, že A je spodní základna, B je horní část, B je horní strana, D je diagonální, α (ve spodní základně) a β (u horní základny) jsou lichoběžníkové úhly. Získáme následující vzorce, pomocí kterých můžeme vypočítat délku diagonály:

- D = √ (А2 + С2-2А * С * cosα);

- D = √ (A2 + C2-2A * C * cosb);

- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosb);

- D = √ (B2 + C2-2B * C * cosα).

3. Vzorec pro délku diagonálů lichoběžníkového lichoběžníku.

Předpokládejme, že A je spodní základna, B je vrchol, D je diagonální, M je střední čára, H je výška, P je plocha lichoběžníku a α a β jsou úhly mezi úhlopříčkami. Určete délku následujících vzorců:

- D = √ (M2 + H2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2P / sinα) = √ (2M * H / sinα).

Pro tento případ je rovnost sinα = sinβ platná.

4. Vzorky délkové diagonály po stranách a výšce.

Předpokládejme, že A je spodní základna, B je horní, C je boční, D je diagonální, H je výška a α je úhel se spodní základnou.

Určete délku následujících vzorců:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + P * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + C2-2A * √ (C2-H2)).

Prvky a vlastnosti obdélníkového lichoběžníku

Podívejme se na to, co je o této geometrické osobě zajímavé. Jak již bylo řečeno, obdélníkový lichoběžník má dva pravé úhly.

Kromě klasické definice existují i další. Například obdélníkový lichoběžník je lichoběžník, ve kterém je jedna strana kolmá k základnám. Nebo postava s pravými úhly na boku. U tohoto typu lichoběžníku se výška rovná boční straně, která je kolmá k základům. Středová čára je segment, který spojuje střední část obou stran. Vlastnost zmíněného prvku je, že je rovnoběžná se základnami a je rovna polovině jejich součtu.

Nyní se podíváme na základní vzorce, které definují tento geometrický tvar. Pro toto předpokládáme, že A a B jsou základy; C (kolmo k základnám) a D - stran pravoúhlého lichoběžníku, M - střední řada, α - ostrý úhel, oblast P.

1. Boční strana kolmá k základům je rovna výšce obrázku (C = H) a je rovna výsledku délky druhé strany D a sinus úhlu α pro větší základnu (C = D * sinα). Navíc se rovná součinu tangenty ostrého úhlu α a rozdílu v bázích: C = (A-B) * tgα.

2. Strana D (ne kolmé k základům) se rovná zvláštnímu rozdílu A a B a kosinusu (α) ostrého úhlu nebo částečné výšky obrázku H a sinusu ostrého úhlu: D = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. Strana, která je kolmá k základům, se rovná druhé odmocnině rozdílu mezi čtvercem D - druhou stranou a čtvercem rozdílu v podkladech:

C = √ (A2- (A-B) 2).

4. Strana D obdélníkového lichoběžníku se rovná druhé odmocnině součtu čtverce strany C a čtverce rozdílu v podkladech geometrické postavy: D = √ (C2 + (A-B) 2).

5. Strana C se rovná kvocientu dělení dvojité plochy součtem jejích základů: C = П / М = 2P / (А + Б).

6. Plocha je určena produktem M (střední čára obdélníkového lichoběžníku) na výšku nebo boční stranu kolmo k podstavcům: Π = М * Н = М * С.

7. Strana C se rovná kvocientu rozdělení zdvojené plochy postavy na sinusový ostrý úhel a součet jejích základů: C = Π / М * sinα = 2Π / ((А + Б) * sinα).

8. Vzorce boční strany pravoúhlého lichoběžníku přes jeho úhlopříčky a úhel mezi nimi:

- sinα = sinβ;

- C = (A1 * A2 / (A + B)) * sinα = (A1 * A2 / (A + B)

Kde D1 a D2 jsou diagonály lichoběžníku; A a β jsou úhly mezi nimi.

9. Vzorce boční strany skrz úhel ve spodní části a ze stran: D = (AB) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Protože lichoběžník s pravým úhlem je zvláštní případ lichoběžníku, zbytek vzorců, které definují tyto obrázky, bude také odpovídat pravoúhlému lichoběžníku.

Vlastnosti vloženého kruhu

Pokud podmínka říká, že kružnice je v pravoúhlém lichoběžníku, můžete použít následující vlastnosti:

- součet základů se rovná součtu bočních stran;

- vzdálenosti od vrcholu pravoúhlého tvaru k bodům dotyčnosti zapsaného kruhu jsou vždy stejné;

- výška lichoběžníku se rovná boční straně kolmé k základnám a rovná se průměru kružnice ;

Střed kruhu je bod, ve kterém se protínají úsečky úhlů ;

- pokud je strana rozdělena bodem dotyku na segmenty H a M, pak je poloměr kružnice rovný druhé odmocnině produktu těchto segmentů;

- čtyřúhelník, který je tvořen body dotyku, vrchol lichoběžníku a střed zapsaného kruhu je čtverec, jehož strana je rovna poloměru;

- plocha obrázku se rovná součinu základů a součinu poloviny součtu základen k jejich výšce.

Podobné trapézy

Toto téma je velmi výhodné pro studium vlastností této geometrické postavy. Například diagonály rozdělují lichoběžníkový lichoběžník na čtyři trojúhelníky, vedle sebe jsou podobná základna a na obou stranách jsou stejné. Toto tvrzení lze nazvat vlastností trojúhelníků, na které je lichoběžník dělen jeho úhlopříčkami. První část tohoto tvrzení je prokázána prostřednictvím kritéria podobnosti ve dvou úhlech. Chcete-li prokázat druhou část, je lepší použít níže uvedenou metodu.

Důkaz věty

Předpokládáme, že vzorek ABSD (AD a BS - lichoběžníková základna) je rozdělen diagonálami VD a AC. Bod jejich průniku je O. Získáme čtyři trojúhelníky: AOS - na dolní základně, BOS - na horní základně, ABO a SOD na bočních stranách. Trojúhelníky SOD a BFD mají společnou výšku v případě, že segmenty BD a OD jsou jejich základy. Zjistili jsme, že rozdíl v jejich oblastech (Π) se rovná rozdílu těchto segmentů: ΠС / / ПСОД = = / / / Д = = Следследьно, proto LDPE = NSP / K. Stejně tak mají trojúhelníky BF a AOB společnou výšku. Vezmeme segmenty CO a OA jako jejich základy. Získáme PBO / PAOB = CO / OA = K a PAOB = PBO / K. Z toho vyplývá, že PSCM = PAOB.

Pro opravu materiálu se žákům doporučuje najít spojitost mezi oblastmi výsledných trojúhelníků, na kterých je dělící lišta dělena jejími úhlopříčkami a řeší následující problém. Je známo, že trojúhelníky oblasti BF a ADN jsou stejné, je nutné najít oblast lichoběžníku. Protože LDPE = PAOB, znamená to, že PABSD = PBO + PAOJD + 2 * PODC. Z podobnosti trojúhelníků BFU a ADN vyplývá, že BD / DD = √ (PBO / PAOD). V důsledku toho je BSP / DPPM = BW / DD = √ (PBO / PAOD). Získáme LDP = √ (PBO * PAOD). Pak PABSD = PBO + PAOAD + 2 * √ (PAO * PAOD) = (√POPS + √PAOOD) 2.

Podobné vlastnosti

Při dalším vývoji tohoto tématu je možné prokázat další zajímavé lichoběžníkové rysy. Pomocí podobnosti tedy můžeme prokázat vlastnost segmentu, který prochází bodem tvořeným průsečíkem diagonálů této geometrické postavy, rovnoběžně se základnami. K tomu řešíme následující problém: je nutné najít délku segmentu PK, který prochází bodem O. Z podobnosti trojúhelníků ADD a BFD vyplývá, že AO / OC = AD / BS. Z podobnosti trojúhelníků AOP a ASB vyplývá, že AO / AC = PO / BS = AD / (BS + AD). Z toho získáme PO = BC * AD / (BS + AD). Stejně tak z podobnosti trojúhelníků DKK a DBS vyplývá, že OK = BS * AD / (BS + AD). Z toho vyplývá, že PO = OK a PK = 2 * BS * AD / (BS + AD). Segment, který prochází průsečíkem diagonálů rovnoběžnými se základnami a spojuje obě boční strany, je dělícím bodem rozdělen na polovinu. Jeho délka je průměrná harmonická základna čísla.

Zvažte následující lichoběžníkovou kvalitu, která se nazývá vlastnost čtyř bodů. Průsečíky úhlopříček (O), průsečíky bočních stran (E) a také střed základů (T a M) vždy leží na jedné čáře. To lze snadno prokázat metodou podobnosti. Získané trojúhelníky BEC a AED jsou podobné a v každém z nich rozdělí ET a EF na úhel E na rovné části. Proto body E, T a M leží na jednom řádku. Přesně stejným způsobem jsou body T, 0 a M umístěny na jedné přímce. To vše vyplývá z podobnosti trojúhelníků BOS a AOD. Z toho vyplývá, že všechny čtyři body - E, T, O a M - budou ležet na jedné přímce.

Použitím podobných lichoběžníků můžete požádat studenty, aby zjistili délku segmentu (LF), který rozdělí číslo na dva podobné. Tento segment musí být rovnoběžný se základnami. Vzhledem k tomu, že získané lichoběžníky ALFD a LBSF jsou podobné, pak BS / LF = LF / AD. Z toho vyplývá, že LF = √ (BS * AD). Zjistili jsme, že segment, který dělí lichoběžník do dvou podobných, má délku rovnající se průměrné geometrické délce základny obrázku.

Předpokládejme následující podobnosti majetku. Je založen na segment, který dělí lichoběžník na dvě stejně velké kusy. Potvrzení, že hrazda ABSD část je rozdělena do dvou podobných EH. Z vrcholu B snížena výška tohoto segmentu je rozdělena na dvě části CZ - B1 a B2. Získat PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Dále sestavit systém, ve kterém první rovnice (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 a druhý (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Z toho vyplývá, že B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) a BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Zjistili jsme, že délka dělení lichoběžník na dvě stejné, se rovná průměrné délky kvadratických bází: √ ((CN2 + AQ2) / 2).

podobnost závěry

Tak jsme dokázali, že:

1. Segment spojující střed lichoběžníku na bočních stranách, rovnoběžných s BP a BS a BS je aritmetický průměr a (délka základna lichoběžníku) BP.

2. tyč procházející bodem O průsečíku úhlopříček paralelní AD a BC se bude rovnat harmonický průměr čísel BP a BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. Segment lámání podobným lichoběžníku má délku geometrický průměr základů BS a BP.

4. Prvek, který rozděluje tvar na dvě stejně velké, délka střední čtverec čísla BP a BS.

Konsolidovat materiál a povědomí o vazbách mezi jednotlivými segmenty studenta je nutné je postavit pro konkrétní lichoběžníku. Dokáže snadno zobrazit průměrnou linku a segment, který prochází bodem - průsečíku úhlopříček postav - rovnoběžně se zemí. Ale tam, kde bude třetí a čtvrtý? Tato odpověď povede studenty k odhalení neznámého vztahu mezi průměrnými hodnotami.

Segment spojující středy úhlopříček lichoběžníku

Vezměme si následující vlastnosti obrázku. Připustíme, že segment MN je rovnoběžná s bází a rozdělit na polovinu diagonálně. průsečík se nazývá W a S. Tento segment se rovná polovině rozdílu důvodu. Pojďme prozkoumat to podrobněji. MSH - průměrná linie trojúhelníku ABS, je rovna BS / 2. Krátkocestným - střední linie trojúhelníku DBA, se rovná AD / 2. Pak jsme zjistili, že SHSCH = krátkocestným-MSH proto SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

těžiště

Pojďme se podívat na to, jak definovat prvek pro daný geometrický obrazec. Chcete-li to provést, je nutné rozšířit základnu v opačných směrech. Co to znamená? Je nutné přidat základny k hornímu dnu - na kteroukoli ze stran, například na pravé straně. Nižší prodloužit délku v levém horním rohu. Poté se připojte jejich úhlopříčky. Průsečík tohoto segmentu se středovou osou na obrázku je těžiště lichoběžníku.

Rytý a popsáno hrazdě

Seznam Pojďme k dispozici tyto údaje:

1. Linka může být vepsán do kružnice pouze v případě, že je rovnoramenný.

2. Kolem kruhu může být popsán jako lichoběžník, za předpokladu, že součet délek svých základen je součet délek stran.

Důsledky vepsané kružnice:

1. Výška lichoběžníku popsán vždy roven dvojnásobku poloměru.

2. strana lichoběžníku popsaného je při pohledu ze středu kruhu v pravém úhlu.

Prvním důsledkem je zřejmá, a dokázat, druhý je povinna prokázat, že úhel SOD je přímý, to znamená, že ve skutečnosti, také nebude snadné. Ale znalost tohoto majetku umožňuje použít pravoúhlý trojúhelník řešit problémy.

Nyní máme určit důsledky pro rovnoramenného lichoběžníku, který je zapsán v kruhu. Získáme, že výška je geometrické průměry postava báze: H = 2R = √ (BS * BP). Splňující základní metody řešení problémů pro lichoběžníky (princip dvou výškách), student musí řešit následující úlohu. Připustit, že BT - výška rovnoramenného figuruje ABSD. Musíte najít úseky AT a AP. Uplatnění výše uvedeného vzorce, bude to popsáno není nijak složité.

Nyní se vysvětlit, jak určit poloměr kruhu z oblasti popsal lichoběžník. Vynechán z horní výšky B na základně BP. Vzhledem k tomu, kruh vepsaný do lichoběžníku, BS + 2AB = BP nebo AB = (BS + BP) / 2. Z trojúhelníku ABN find sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Získat PABSD = (BP + BS) * R, to znamená, že R = PABSD / (AD + BC).

,

Všechny receptury ve střední čáře hrazdě

Teď je čas jít na poslední položku tohoto geometrického obrazce. Budeme rozumět, co je střední linie lichoběžníku (M):

1. Prostřednictvím bází: M = (A + B) / 2.

2. Po výšce, základny a rohy:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Díky výšce a diagonální úhel mezi nimi. Například, D1 a D2 - diagonální lichoběžníku; α, β - úhel mezi nimi:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. V oblasti a výška: M = R / N.