Překlad z binárního na desetinný je snadný

Fráze, že všechno nové není nic jiného než zapomenutý starý, plně odkazuje na binární systém čísel. Ukazuje se, že už ve staré Číně už něco, co nám připomíná náš "jeden bod - ne-policajt", pravda není pro aritmetiku, ale pro psaní textů knihy Změny. Nejbližší k porozumění různým systémům čísel byly Inkové: používali desítkové i binární systémy, ačkoli toto bylo pouze pro textové a kódované zprávy. Lze předpokládat, že ještě před 4 000 lety Inkové věděli, jak převést z binárních na desetinné.

Moderní verze binárního systému byla navržena Leibnizem teprve před asi 300 lety a po dalším století a půlce George Buhl opustil své jméno ve vzpomínce na potomky práce na algebru logiky. Binární aritmetika ve spojení s algebrou logiky se stala základem současné digitální technologie. A vše začalo v roce 1937, kdy byla navržena metoda symbolické analýzy relé a spínacích obvodů. Tato práce Clauda Chenona se stala "matkou" relayového počítače, který v roce 1937 provedl binární přírůstek. A samozřejmě, jedním z úkolů tohoto "pradědního" moderních počítačů byl překlad z binárních na desítkové.

Trvalo to jen tři roky a další model relé "počítač" poslal příkazy do kalkulačky složitých čísel, pomocí telefonní linky a teletypu - no, starý internet v akci.

Co jsou to binární, desetinné, šestnáctkové a obecně řečeno jakýkoli systém N-ary? Ano, nic komplikovaného. Vezměme si třímístné číslo v našem oblíbeném desítkovém systému, je reprezentováno pomocí 10 znaků - od 0 do 9, s přihlédnutím k jejich umístění. Definujeme, že číslice tohoto čísla jsou v pozicích 0, 1, 2 (objednávka jde od poslední číslice k první). Každá z polí může obsahovat libovolná čísla systému, ale hodnota tohoto čísla je určena nejen svým tvarem, ale také polohou pozice. Například pro číslo 365 (tedy pozice 0 je číslo 5, pozice 1 je číslo 6 a pozice 2 číslo 3), hodnota čísla v nulové pozici je pouze 5, první pozice je 6 * 10 a druhá - 3 * 10 * 10. Zajímavé je, že počínaje od první pozice, číslo obsahuje významnou číslici (od 0 do 9) a základna systému se rovná číslu pozice, tj. Můžeme napsat, že 345 = 3 * 10 * 10 + 6 * 10 +3 = 3 * 102 + 6 * 101 + 5 * 100.

Jiný příklad:

260974 = 2 * 105 + 6 * 104 + 0 * 103 + 9 * 102 + 7 * 101 + 4 * 100.

Jak vidíte, každý polohový prostor obsahuje významné číslo ze sady daného systému a násobitel ze základny systému se rovná pozici daného čísla (číslice je počet pozic, ale +1 je více).

Z pohledu reprezentace čísla se jeho binární forma skrývá s jeho jednoduchostí - pouze dvě číslice v systému - 0 a 1. Ale krása matematiky je, že dokonce i ve zkrácené formě se může zdát, že binární čísla jsou stejně plná a stejná jako jejich Více "vysokých soudruhů". Ale jak je porovnáváte například s desítkovým číslem? Volitelně musíte provést překlad z binárního na desetinný. Úkol nelze nazvat obtížným, ale tato obtížná práce vyžaduje pozornost. Takže začněte.

Vycházejíc z toho, co bylo řečeno výše o pořadí reprezentace čísel v jakémkoli systému, a s ohledem na nejjednodušší z nich, binární, pořídíme jakoukoliv sekvenci "jednotkových klíšťat". Zavolejte toto číslo VO (v ruštině VO) a pokuste se zjistit, co to je - překlad z binárního na desetinný. Nechte to být VO = 11001010010. Na první pohled je to číslo jako číslo. Uvidíme!

V prvním řádku zařídíme číslo samotné v rozložené podobě a druhé číslo jako součet každé pozice ve tvaru faktorů - významnou číslici (zde volbu je malá - 0 nebo 1) a číslo 2 ve výkonu rovnající se číslu pozice v desítkovém systému, uděláme překlad z Binární až desetinná. Teď ve druhém řádku stačí provést výpočty. Pro přehlednost můžete také přidat třetí řádek s průběžnými výpočty.

VO = 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0;

VO = 1 * 210 + 1 * 29 + 0 * 28 + 0 * 27 + 1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20;

VO = 1 * 1024 + 1 * 512 + 0 * 256 + 0 * 128 + 1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1.

Vypočítáme "aritmetiku" ve třetím řádku a máme to, co jsme hledali: VO = 1618. No, co je tak skvělé? A skutečnost, že toto číslo je nejslavnější ze všeho, co je známo lidem: podíly egyptských pyramid, slavná Gioconda, hudební noty a lidské tělo jsou s tím spojeny, ale ... Ale s trochou objasnění - s vědomím, že by mělo být hodně dobra, Dali nám toto číslo 1000 krát více než současná hodnota - 1.618. Pravděpodobně to všechno bylo. A na cestě, překlad z binárního na desítkové pomohl z nekonečného moře čísel "chytit" nejpozoruhodnější - to je také nazýváno "zlatý podíl".