To je tangenta ke kruhu? Vlastnosti tečně ke kružnici. Společná tečna ke dvěma kruhy

Sečen, tangenty - to vše stokrát slyšet na výuku geometrie. Ale otázka školu za sebou, složit rok a všechno toto poznání zapomenuto. Co bych měl pamatovat?

esence

Pod pojmem „tangenta ke kruhu“ znamení, snad všechno. Je však nepravděpodobné, že vše bude rychle formulovat definici. Mezitím se nazývá tečnu ležící ve stejné rovině jako je kružnice, která protíná pouze na jednom místě. Jejich nesčetné mohou existovat, ale všechny mají stejné vlastnosti, které budou popsány níže. Jak asi tušíte, kontaktní místo uvedené na místo, kde se kruh a linka protínají. V každém případě se jedná o jednu, pokud existuje více, pak to bude příčné.

Historie objevu a studium

Koncept tangenty se objevila ve starověku. Konstrukce těchto řádků k prvnímu kruhu, a pak do elipsy, paraboly a hyperbolas s pravítkem a kompasem se konala ještě v raných fázích vývoje geometrie. Samozřejmě, že historie nedochovala jméno objevitele, ale je jasné, že i v té době byli lidé dobře známy vlastnosti tečně ke kružnici.

V moderní době se zájem o tento fenomén vypukl znovu - začalo nové kolo studium tohoto konceptu ve spojení s otevřením nových křivek. Tak Galileo zavedl pojem cykloida a Fermat a Descartes postavil tečně k němu. Co se týče kruzích se zdá, je za dávných tajemství zanechal v této oblasti.

vlastnosti

Radius upozornit na průsečíku bude kolmá k přímce. toto hlavní, ale ne jedinou vlastnost, která je tečná ke kružnici. Dalším důležitým rysem je již zahrnuta dvěma přímými. Tak, a to prostřednictvím jediného bodu, který leží vně kruhu, je možné čerpat dvě tangenty a jejich délky jsou rovny. Tam je další věta o toto téma, ale to je jen zřídka se konala v rámci standardního školního hřiště, ale je to velmi užitečné pro řešení určitých problémů. Jde to takto. Z jednoho bodu umístěného vně kruhu, nakreslit tečnou a sečna na něj. Tvořené segmenty AB, AC a AD. A - průsečík linií, B bodu styku, C a D - přechod. V tomto případě následující rovnice platí: délka tečny ke kružnici, na druhou se rovná součinu segmentů AC a AD.

Z výše uvedeného vyplývá, že je důležitý důsledek. Pro každý bod kruhu, můžete vytvořit tangentu, ale jen jeden. Důkazem toho je docela jednoduchý: teoreticky až na to kolmo od poloměru, zjistíme, že vznikne trojúhelník nemůže existovat. A to znamená, že tangenty - jediný.

budova

Mezi další úkoly v geometrii je speciální kategorie, zpravidla ne je milován žáků a studentů. Pro vyřešení úkolů této kategorii potřebovat pouze kompas a pravítko. Je úkolem budovy. Tam stavět na tečně.

Takže vzhledem k tomu, kruh a bod ležící mimo její hranice. A budete muset přejít přes ně tangenty. Jak to děláte? Za prvé, budete muset strávit interval mezi středem kružnice O a žádané hodnoty. Poté s pomocí kompasu by se jej rozdělit na dvě poloviny. Chcete-li to provést, musíte nastavit poloměr - o něco více než polovinu vzdálenosti mezi středem kruhu a původní bod. Pak je třeba postavit dvě protínající se oblouky. Poloměr na změny by neměly být kompas, a střed každé straně kruhu bude původní bod, a O, v tomto pořadí. Místa oblouky křižovatky je třeba připojit, že oddíl snížit na polovinu. Informovat na poloměru kompasu, která se rovná vzdálenosti. Dále se středem v průsečíku stavět další kruh. Bude založen jak na původním místě, a O. V tomto případě budou dvě křižovatky s tímto problémem v kruhu. Že budou kontaktní místa pro původně určeného bodu.

zajímavý

To staví tečna ke kružnici vedla ke zrodu diferenciální počet. První práce na toto téma vydal slavný německý matematik Leibniz. To za předpokladu, možnost zjištění maxima, minima a tangenty, bez ohledu na zlomky a iracionální množství. No, teď se používá pro mnoho jiných výpočtů.

Kromě toho je tangenta ke kruhu spojený s geometrickým tangenty smyslu. Je to z toho, a její název pochází. Přeloženy z latinského tangens - „tangenta“. Tak, tento koncept je nejen geometrie a diferenciální počet, ale s trigonometrie.

dva kruhy

Ne vždy tangentou zatragivet pouze jeden údaj. Pokud můžete strávit velké množství linek do jednoho kruhu, tak proč ne naopak? Je to možné. To je právě ten problém je v tomto případě je vážně složité, protože tangenta ke dvěma kruhy nemůže projít libovolném okamžiku, a relativní pozice všech těchto údajů může být velmi odlišné.

Druhy a odrůdy

Když přijde na dva kruhy a jeden nebo více řádků, pak, i když víte, že je to asi není bezprostředně jasné, jak všechny tyto kousky jsou uspořádány ve vztahu k sobě navzájem. Na základě toho existuje několik odrůd. Takže kruh může mít jeden nebo dva společné body, nebo vůbec žádné. V prvním případě se budou překrývat, a druhý - na dotek. A tady jsou dvě varianty. V případě jednoho kruhu, protože byly zakotveny v druhé, dotyková se nazývá vnitřní pokud ne - pak ven. Porozumět relativní postavení kamenů nemůže být založena pouze na výkrese, ale mají informaci o součet jejich poloměrů a vzdálenost mezi jejich středy. Pokud jsou tyto dvě hodnoty jsou stejné, pak kruhy dotknout. Je-li první více - protínají i jinak - nemají žádné společné body.

Tak je to s přímými liniemi. Pro jakékoliv dva kruhy nemají žádné společné body mohou být
vybudovat čtyři tečny. Dvě z nich budou překrývat mezi číselnými údaji, které se nazývají vnitřní. Pár ostatní - externí.

Pokud mluvíme o kruzích, které mají jedno společné, je problém vážně zjednodušen. Faktem je, že v každém vzájemné dohodě, v tomto případě tangenty budou mít jen jeden. A to projde průsečíkem. Tak, že budova nebude způsobovat potíže.

V případě, že údaje jsou dva průsečíky, pak mohou být postaveny čáru tečnou ke kružnici jako jeden a druhý, ale pouze mimo. Řešením tohoto problému je podobný tomu, co je uvedeno níže.

Čelíme

Vnitřní i vnější tečné k dvěma kruhy v budově nejsou tak jednoduché, i když, a tento problém je vyřešen. Skutečnost, že pomocná kombinace se používá k tomu, aby přišel na takový způsob sám Je dosti problematické. Takže vzhledem k tomu, dva kruhy s různými poloměry a center O1 a O2. Pro ně je třeba stavět dva páry tangent.

Za prvé, o uprostřed většího kruhu stavět podporují. Zároveň se na kompasu je třeba nastavit rozdíl mezi poloměry obou původních čísel. Od středu menší kruh tečnou k pomocné postavena. Po tom O1 a O2 jsou drženy perependikulyary to rovnou ke křižovatce s původními čísly. Jak vyplývá ze základních vlastností tečnou, požadované body se nacházejí na obou kruzích. Problém je řešen, alespoň v jeho první části.

S cílem vytvořit vnitřní tečny muset řešit téměř podobný problém. Opět platí, že je třeba pomocnou postavu, ale tentokrát její poloměr se rovná součtu originálu. K ní postavit tangentu od centra jednoho z těchto kruhů. Další průběh rozhodnutí lze chápat z předchozího příkladu.

Tangenta do kruhu, nebo dokonce dva nebo více - není tak obtížný úkol. Samozřejmě, že matematici už dávno řešit podobné problémy ručně a věřit vypočítat speciální programy. Ale nemyslete si, že to je teď nemusí být nutně schopen to udělat sám, protože pro správnou formulaci úkolu pro počítač dělat hodně a rozumět. Bohužel, existují obavy, že po konečném přechodu na zkušební formy kontroly znalost problémů na konstrukci způsobí, že studenti se stále většími obtížemi.

Pokud jde o nalezení společné tečny k více kruhů, že není vždy možné, i když leží ve stejné rovině. Ale v některých případech je možné najít takovou čáru.

příklady Life

Společným tečné k dvěma kruhy se často vyskytují v praxi, i když to není vždy jasné. Dopravníky, modulární systémy, převodové řemeny řemenice, napětí nitě v šicím strojem, ale i jen kolo řetěz - všechny příklady života. Takže si nemyslím, že geometrické problémy zůstávají pouze teoreticky: ve strojírenství, fyziky, stavebnictví a mnoha dalších oblastech jsou v praktickém použití.