Derivát sinu úhlu se rovná kosinu stejným úhlem

Dana jednoduchá trigonometrie funkce y = sin (x), je diferencovatelná v každém bodě celé doméně. Musíme dokázat, že derivát sine jakékoliv tvrzení se rovná kosinu stejným úhlem, to znamená, že ‚= cos (x).

Důkaz je založen na definici funkce derivátu

Definujeme x (libovolné) v nějakém malém sousedství určitého bodu x Ah _0. Ukážeme hodnoty funkce v něm, a v bodě x najít přírůstek dané funkce. Pokud Ah - argument, zvýší se nový argument - to x ₀ + Ax = x, hodnota této funkce pro danou hodnotu argumentu (x) je rovna sin (x ₀ +? X) je hodnota funkce v určitém bodě (x ₀₎ je také známo, ,

Nyní máme Au = sin (x ₀ + Sn) -Sin (x ₀₎ - získané funkce přírůstek.

Podle receptu sine součtu dvou nestejných úhlů budeme převést rozdíl AU.

Au = sin (x ₀₎ · Cos (Ah) + cos (x ₀₎ · Sin (Ax) minus sin (x ₀₎ = (cos (Ax) -1 ) · sin ( x ₀₎ + cos (x ₀₎ · Sin (Ah).

Provedené permutační termíny seskupeny první až třetí sin (x _0), vyjmut společný faktor - sine - závorce. jsme obdrželi v expresním Cos rozdíl (Ah) -1. Je ponecháno na změnu znaménka před závorkou a držáků. S vědomím toho, co je 1-cos (Ah), jsme se provést změny a získat zjednodušený výraz AU, která se pak dělí Ah.
Au / Ah bude mít tvar: cos (x ₀₎ · Sin (Ah) / Ah 2 · Sin ² (0,5 x Ah) · sin (x ₀₎ / Ah. To je poměr přírůstku funkce na vstupu do přírůstku argumentu.

Zbývá najít limitu poměrů získaných nás během lim Ah, inklinovat k nule.

Je známo, že limit Sin (Ah) /? X se rovná 1, pod podmínkou. A výraz 2 · Sin ² (0,5 x Ah) / Ah v výsledný součet jednotlivých transformací produktu, který obsahuje jako první násobičky pozoruhodnou limit: čitateli frakce a znemenatel dělit 2, čtverec sine nahradit produktu. Zde je návod:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) · Sin (Ax / 2).
Limit této exprese při Ah blíží nule, se bude rovnat počtu nula (0 násobená 1). Ukazuje se, že mez poměru? Y / Ah je cos (x ₀₎ · 1-0, to je cos (x _0), jehož exprese je nezávislá na Ah inklinovat k 0. závěr: derivát sinu jakéhokoliv úhlu je rovna x kosinus x, lze zapsat jako: y ‚= cos (x).

Výsledný vzorec je uveden v tabulce známých derivátů, kde jsou všechny elementární funkce

Při řešení problémů, kde se setká s derivát sine, můžete použít pravidla diferenciace a hotových vzorců tabulky. Například: najít derivaci nejjednodušším funkce y = 3 · sin (x) -15. Používáme základní pravidla derivace odstranění číselný faktor pro znamení derivátu a vypočítat derivát konstantní počet (což je nula). Použít sine tabulka hodnota derivátu úhlu x rovný cos (x). Obdrží odpověď: y ‚= 3 · cos (x) -O. Tento derivát, pak je také základní funkce y = H · cos (x).

Derivát sine čtvereční žádný argument

Při výpočtu výrazu (Sin ² (x)) ‚je třeba si vzpomenout, jak diferencovanou komplexní funkce. Takže, ² = sin (x) - je funkcí výkonu jako sinus na druhou. Jeho argumentem je také goniometrické funkce, komplexní argumentem. Výsledkem je v tomto případě rovna součinu z první násobičky je čtverec komplexu derivátu argumentu, a druhý - derivát sine. Zde je pravidlo pro rozlišování funkci funkce: (u (v (x))) 'je (u (v (x)))' · (v (x)).‘ Exprese V (x) - komplex argument (vnitřní funkce). V případě, že vzhledem k tomu, funkce "y se rovná sinus čtvercový x", pak je derivát této složené funkce je y ‚= 2 · sin (x) · cos (x). Produkt z první násobičky zdvojnásobil - derivát známý exponenciální funkce, a cos (x) - derivát sinus komplex argument kvadratické funkce. Konečný výsledek může být transformována pomocí vzorce z trigonometrické sinus dvojitého úhlu. A: Derivát Sin (2 · x). Tento vzorec je snadno zapamatovatelné, to je často používáno jako stůl.