Co je číslo s plovoucí čárkou?

Prezentace reálných (či reálných) čísel, kde jsou uloženy jako mantisa a exponent jsou plovoucí desetinnou čárkou (možná místa, jak je to obvyklé v anglicky mluvících zemích). Přes to, že číslo je opatřen pevnou relativní přesností a měnící se absolutní. Reprezentace, která se používá nejčastěji, která byla schválena standardní IEEE 754. matematických operací, které používají čísla s plovoucí desetinnou čárkou jsou implementovány v výpočetních systémů - hardware i software.

Bod nebo čárka

Podrobný seznam oddělovač desetinných míst identifikuje ty anglicky mluvících zemích a anglofitsirovannye, ve kterých jsou vedeny záznamy o číslech oddělených nepatrná část celého bodu, protože terminologie z těchto zemí přijala jméno s plovoucí desetinnou čárkou - „plovoucí řádovou čárkou“. V Ruské federaci, nepatrná část celé tradice, oddělené čárkou, takže to představuje stejný koncept historicky poznal termín „plovoucí desetinnou čárkou“. Nicméně, dnes v technické dokumentaci a v ruské literatuře je povoleno obě možnosti.

Pod pojmem „floating point“ pochází ze skutečnosti, že poziční číslo reprezentace je čárka (normální desítkové nebo binární - počítač), který se vejde kamkoli mezi čísly linek. Tato funkce je určitě ji stanovit odděleně. To znamená, že reprezentace s plovoucí desetinnou čárkou lze považovat za implementaci počítačového exponenciálním zápisu. Výhodou použití takového znázornění formátu zobrazení s pevnou řádovou čárkou a celých čísel, které rozsah hodnot významně roste, když se, že relativní přesnost zůstává beze změn.

příklad

V případě, že čárka v počtu pevných a vypálit je to jen jeden formát. Například, vzhledem k tomu, trochu šest v řadě a dvě číslice v nepatrné části. To lze provést pouze tímto způsobem: 123.456,78. Formát s plovoucí desetinnou čárkou dávat plný prostor pro vyjádření. Například, vzhledem k tomu, stejné osm číslic. volby pro záznam může být jakákoliv, pokud programátor nedělá dvoumístného šetřit duty další pole, kde se bude zaznamenávat exponenty, které jsou obvykle 10, a od 0 do 16, a vypouštění přičemž celkový počet bude deset 8 + 2.

Některá provedení záznamu, který umožňuje formátovat čísla s pohyblivou řádovou čárkou: 12345678000000000000; ,0000012345678; 123,45678; 1.2345678 a tak dále. V tomto formátu je i jednotka měření rychlosti! Spíše, výkon počítačového systému, který zaznamenává rychlost, při které je počítač provádí operace, kde je reprezentace s plovoucí desetinnou čárkou. Tento výkon se měří v podmínkách propadne (s plovoucí desetinnou čárkou operací za sekundu, což znamená na počet transakcí za sekundu s plovoucí desetinnou čárkou). To je základní jednotkou v rychlosti měření počítačového systému.

struktura

číslo záznamu v plovoucím formátu bodě je třeba takto, pozorování sekvenci povinných částí, protože tento záznam je exponenciální, který znázorňuje reálných čísel jako mantisy a pořadí. Je třeba představovat příliš velké a příliš malé množství, jsou mnohem čitelnější. Požadované části: zaznamenaný počet (N), mantisa (M), je pořadí označení (P) a pořadí (n). Poslední dvě vlastnosti znamení. Z tohoto důvodu, N = ^M. n ^p. Takže psaný čísel s plovoucí desetinnou čárkou. Příklady budou měnit.

1. Je třeba zaznamenat číslo jeden milion, aby nedošlo k ztratit v nulami. 1000000 - to je normální nahrávání, aritmetika. Počítač je následující: ^{1.0. 6.října.} To znamená, že deset až šestou - tři znaky, které se vejdou do tolik jako šest nul. Tak dochází k reprezentaci čísel s pevnou a pohyblivou řádovou čárkou, kde okamžitě může detekovat rozdíly v hláskování.

2. A taková tvrdá číslo 1435000000 (jedna miliarda 430 - 5000), také může být psán jednoduše: ^{1435. 10.} září pouze. Tak je to s znaménkem minus můžete psát libovolný počet. To je ono, a liší se od sebe navzájem s číslem pevné a pohyblivé řádové čárce.

Ale je to víc o tom, jak být nízká? Ano, až příliš snadno.

3. Například jako jedna miliontina značku? = 0.000001 ^1,0. 10 ^-6. Velmi usnadnilo a psaní čísel a čtení.

4. složitější? Pět set a čtyřicátášestá billionth: ,000000546 = ^546. 10 ^-9. Zde. Rozsah pohyblivou řádovou čárkou je velmi široký.

tvar

číslo forma může být normální nebo normalizovaná. Normal - vždy respektovat přesnost s plovoucí desetinnou čárkou. Je třeba poznamenat, že mantisa v této formě, bez ohledu na znaménko, je polovina intervalu 0 1, potom 0 ⩽ a <1, není v normální forma počtu ztrácí přesnost. Nevýhodou normální formy je, že mnoho čísla mohou být psány v různých způsobech, že je nejednoznačný. Například různé záznamy o stejném počtu: 0 = 0,0001, ^000001. 10 ² = ^{0,00001. 10.ledna} = ^0,0001. 10 ⁰ = ^0,001. 10 ^-1 = ^0,01. 10 ^{~ 2,} a tak může být mnohem více. To je důvod, proč se počítač používá jinou normalizovanou notaci, kde se mantisa desítkové předpokládá hodnotu jednotek (včetně), a tak do deseti (není součástí balení), a stejným způsobem mantisa binární číslo má hodnotu mezi jedním (včetně) do dvou (ne inclusive).

Takže, 1 ⩽ a <10 Toto -. Binární čísla s plovoucí desetinnou čárkou, a tato forma záznamu libovolný počet (s výjimkou nuly) zachycuje jedinečný způsob. Ale i tam je nevýhodu - neschopnost představit tento druh nulu. Proto informatika umožňuje použití speciálních čísel 0 znamení (bitů). Celočíselná část (MSB) ze mantisy v binární číslo, s výjimkou nuly v normalizovaném tvaru se rovná 1 (implicitní jednotky). Tento záznam je použit standard IEEE 754. císla systém, vyznačující se tím, že bází je větší než dva (ternární, kvartérní a jiné systémy), tato vlastnost se nekupuje.

reals

Reálných čísel s plovoucí desetinnou čárkou a jsou obvykle stejně to není jen jeden, ale velmi pohodlný způsob, jak reprezentovat reálné číslo, jak to bylo, kompromis mezi rozsahu hodnot a přesnosti. Toto je analogické s exponenciálním zápisu, provádí pouze v počítači. číslo s plovoucí desetinnou čárkou - soubor jednotlivých bitů je rozdělen na znamení (značka), objednávky (exponent) a mantisa (mantis). Mezi nejčastější formát je IEEE číslo 754 s plovoucí desetinnou čárkou za sadu bitů, které kódují část jeho mantisy, na straně druhé - stupeň a jeden bit indikuje znaménko čísla: nula - jestliže to je pozitivní, jednotka - pokud je číslo záporné. Celý postup se zaznamená číslem (kód směny) a mantisa - v normalizovaném tvaru, jeho desetinnou část - v binárním systému.

Každý znak - je jediný bit, který indikuje znamení pro všechna čísla s plovoucí desetinnou čárkou. Mantisa a pořádek - jsou celá čísla, které, spolu s označením a aby reprezentace s plovoucí desetinnou čárkou. Tento postup může být označováno jako exponenciální nebo exponent. Ne všechna reálná čísla mohou být zastoupeny v počítači v jejich přesném významu, ostatní jsou uvedeny přibližné hodnoty. Mnohem jednodušší možnost - podat reálné číslo s pevným bodem, kde je reálná a celá část bude vedena odděleně. S největší pravděpodobností, takže celá část je vždy přidělen X bitů a frakční - Y bitů. Ale architektura procesorů nejsou vědomi této metody, ale proto, že se dává přednost počtu plovoucí desetinnou čárkou.

přidání

Přidání čísel s plovoucí desetinnou čárkou, je poměrně jednoduché. V souvislosti se standardním single přesného počtu IEEE 754 má velký počet bitů, takže je lepší přejít na příkladech, s lepším nápadem vzít nejmenší číslo s plovoucí desetinnou čárkou. Například dvě čísla - X a Y.

Tyto kroky jsou následující:

a) Čísla musí být zastoupeny v normalizované formě. Je jasné, že skrytý jeden. X = ^1,110. 2 ^2, a Y = ^1000. 2 ^0.

b) pokračovat v procesu kompozice může vyrovnat pouze vystavovatele, ale musí přepsat hodnotu Y. To bude odpovídat hodnotě normalizovaných čísel, i když ve skutečnosti - unnormalizes.

Vypočte se rozdíl mezi exponenty stupeň 2 - 0 = 2. Nyní přesunout mantisa kompenzovat tyto změny, to znamená, že se přidají 2 do indexu druhého období, čímž se pohybuje čárka skryté jednotky ve dvou bodech na levé straně. 0,0100 se ^{získá. 2.února.} To bude ekvivalentní předchozí hodnotu Y, pak je již Y‘.

c) Nyní je potřeba sečíst počet mantisy X a Y. očištěné

1,110 + 0,01 = 10,0

Vystavovatel stále je reprezentována parametrem X, která je rovna 2.

g) částka obdržená v předchozím kroku, posunuly normalizace jednotku, pak se budete muset posunout exponent sumu a opakovat. 10.0 se dvěma bity nalevo od desetinné čárky, číslo je nyní nutné normalizovat, tj přesunout čárku doleva o jeden bod, a exponent, v tomto pořadí, zvýší o 1. Ukazuje se, ^{1000. 2.března.}

e) Je na čase převést desetinné číslo v jednobajtové systému.

závěr

Jak můžete vidět, přidejte tato čísla nejsou příliš těžké, cokoliv, co plave čárku. Není-li, samozřejmě s výjimkou přinášet množství nižším exponentem mezi více (ve výše uvedeném příkladu, bylo to Y x), jakož i obnovení statu quo, tedy v otázce náhrady - posunout desetinnou čárku doleva mantisy. Když již byla použita přídavek, je velmi pravděpodobné, a ještě jeden problém - perenormirovanie a zkrácení bit, pokud jejich počet neodpovídá počtu jej zastupovat.

násobení

Binární systém nabízí dvě metody, kterými se násobí čísel s plovoucí desetinnou čárkou. Tento úkol může být provedena násobení, která začíná s nejméně významných bitů, a které začíná s vysokými pořadí bitů v multiplikátoru. V obou případech obsahují řadu operací postupně stohování dílčí produkt. Tyto operace jsou řízeny přidáním multiplikační bitů. Takže, je-li jeden z bitů multiplikátor je jednotka, součet dílčích produktů multiplicand roste s odpovídajícím posunem. Je-li číslice multiplikátoru připlížil k nule, zatímco násobenec není přidán.

Je-li násobení prováděna jen dvě čísla, součin čísel v její výše nesmí překročit počet číslic obsažených v faktorů, více než dvakrát, a pro velké množství, že je velmi, velmi mnoho. Pokud vynásobí nějaké číslo, produkt riskuje nevejde na obrazovku. Vzhledem k tomu, počet bitů z jakéhokoli digitálního přístroje je velmi omezený, a to nutí omezit maximálně dvojnásobku počtu výbavy číslic. A pokud je omezen počet míst, ve výrobku bude nevyhnutelně představí chyby. V případě, že množství výpočtů je velký, chyba překrytí, a v důsledku toho se výrazně zvyšuje celkovou přesnost. Zde je jediná cesta - na kole výsledků násobení, pak chybové práce se střídaly. Když operace násobení, je možné jít nad rámec sítě číslic, ale jen mladší, protože tam je stanovený limit na počet, z nichž jsou zastoupeni ve formě pevného bodu.

některá vysvětlení

Lepší začít od začátku. Nejběžnější způsob, jak představují počet - čísla řádků jako celé číslo, kde je čárka implikované v samém závěru. Tento řetězec může mít libovolnou délku, ale čárka stojí na správném místě, aby ji odděluje číslo od zlomkovou část. Formát prezentace s pevným bodového systému nutně klade určité podmínky na umístění desetinné čárky. Vědecká notace používá standardní normalizovanou pohled na zobrazení čísel. To AQN {\ displaystyle aq ^ {n }} vodný n. Zde {\ displaystyle ^a} a, a to je voláno mantisa krajky. Jen o tom již bylo řečeno, že 0 ⩽ a jasné: N {/ displaystyle n} n - celé číslo exponent a ^q {/ displaystyle q} q - i celé číslo, které je základem radix (písmeno je často 10). Mantisa opustit čárku po první číslici, která není nula, ale další záznam se přenese na informace o současné hodnotě čísla.

Číslo s plovoucí desetinnou čárkou je napsán velmi podobný všem jasné standardních čísel pro vstup pouze s exponenty a mantisy jsou zaznamenány odděleně. Poslední stejné a v normalizovaném formátu - pevný bod, který je ozdoben první významné číslice. Jen plovoucí desetinnou čárkou se používá především v počítači, který je v elektronické reprezentaci, kde není systém desítkovou a binární, kde i Mantisa denormalize předělaný bod - nyní je před první číslicí, pak dříve, ne až po něm, kde celá část v zásadě není možné. Například naše desítková soustava by dal svůj devět binární systém pro dočasné použití. A že bude zaznamenávat a její mantisa s plovoucí desetinnou čárkou takhle: +1001000 ... 0, a to i index 0 ... 0100. Ale desetinný systém není schopen produkovat takové složité výpočty, které mohou být v binárním formátu, s použitím formy s pohyblivou řádovou čárkou.

dlouhá aritmetika

V elektronické počítače mají vestavěný softwarových balíků, kde přidělených pro mantisa a exponent množství paměti zadán softwaru omezen pouze velikostí paměti počítače. Vypadá to, že po dlouhou aritmetiky, která je jednoduché operace na číslech, která provádí počítač. Je to všechno stejné - odečítání a sčítání, dělení a násobení, elementární funkce a stavbu kořene. Ale počet velmi odlišné, jejich kapacita je podstatně větší, než je délka slova stroje. Provádění těchto operací není hardware a software, ale to je široce používán základní hardware pro práci s mnohem menším počtem zakázek. Tam je více a počítání, kde čísla délka omezena pouze kapacitou paměti - výpočty s libovolnou přesností. Dlouhá aritmetika se používá v mnoha oblastech.

1. Chcete-li kompilovat kód (procesory, mikroprocesory s nízkou bitovou hloubkou - 10-bitových registrů a osmibitového délkou slova, nestačí zpracovávat informace z analogového signálu na digitální (analogově-digitální převodník), a proto se neobejde bez dlouhého aritmetiky.

2. Pro kryptografii se používá také dlouhá aritmetika, při níž je třeba zajistit přesnost výsledku exponentiace nebo násobení až do 10 ³⁰⁹ . Celočíselná aritmetika se používá modulo m - velké přirozené číslo a není nutně jednoduché.

3. Software pro finančníky a matematiky také nemůže dělat bez dlouhé aritmetiky, protože jen tak můžete ověřit výsledky výpočtů na papíře - pomocí počítače, poskytující vysokou přesnost čísel. Plovoucí bod mohou čerpat tak dlouho, jak je požadováno. Inženýrské výpočty a práce vědců zřídka vyžadují zásah výpočtů softwaru, protože je velmi obtížné zadávat údaje bez chyb. Obvykle jsou mnohem větší než výsledky zaokrouhlování.

Bojové chyby

Při operacích s čísly, v nichž je čárka plovoucí, je velmi obtížné vyhodnotit chybu výsledků. Dosud nebyla vyvinuta matematická teorie uspokojující vše, co by pomohlo vyřešit tento problém. Chyby s celočíselnými čísly lze snadno vyhodnotit. Možnost zbavit se nepřesností leží na povrchu - používejte pouze čísla s čárkou. Finanční programy jsou například založeny na tomto principu. Je to však jednodušší: požadovaný počet číslic za desetinnou čárkou je předem znám.

Jiné aplikace se nemohou omezit na to, protože nelze pracovat s velmi malými nebo velmi velkými čísly. Proto při práci je vždy bráno v potaz, že jsou možné nepřesnosti, a proto při výstupu výsledků je nutné zaokrouhlit. Automatické zaokrouhlení je často nedostatečné, a proto je zaokrouhlení nastaveno speciálně. Srovnávací operace je v tomto ohledu velmi nebezpečné. Zde je dokonce velmi obtížné posoudit velikost budoucích chyb.