Základní pojmy teorie pravděpodobnosti. Zákony teorie pravděpodobnosti

Mnoho lidí, když se potýkají s pojmem „teorie pravděpodobnosti“, strach, myslet si, že to je něco, co nelze tolerovat, velmi obtížné. Ale je to vlastně není tak tragická. Dnes se podíváme na základní pojmy teorie pravděpodobnosti, naučit se řešit problémy na konkrétních příkladech.

věda

To, co se studuje obor matematiky jako „teorie pravděpodobnosti“? Konstatuje vzory náhodných událostí a proměnných. Poprvé byla problematika zaujatých vědců v osmnáctém století, kdy studoval hazardních her. Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti - události. To je nějaká skutečnost, že je stanovena na základě zkušeností nebo pozorování. Ale co je to zkušenost? Dalším základním pojetí teorie pravděpodobnosti. To znamená, že tato část těchto okolností nejsou omylem vytvořili, a účel. Co se týče dohledu, tam je výzkumník sám neúčastní zkušenosti, ale jednoduše svědkem těchto událostí, to nemá žádný vliv na to, co se děje.

dění

Zjistili jsme, že základní koncept teorie pravděpodobnosti - události, ale nepovažoval klasifikaci. Všechny z nich jsou rozděleny do následujících kategorií:

• Spolehlivé.
• Nemožné.
• Náhodná.

Bez ohledu na to, co je událost, která je sledována nebo vytvořené v průběhu experimentu, jsou ovlivněny této klasifikace. Nabízíme všechny typy setkat samostatně.

určitá událost

To je fakt, na základě kterých by bylo potřebné soubor činností. Aby bylo možné lépe pochopit podstatu, je lepší dát několik příkladů. To je podřízen zákonu a fyziky, chemie, ekonomie a vyšší matematiky. Teorie pravděpodobnosti zahrnuje takový důležitý koncept jako významné události. Zde je několik příkladů:

• Pracujeme i odměnu v podobě mezd.
• No složil zkoušky, prošel soutěž za to dostávají odměnu v podobě přijetí do vzdělávací instituce.
• Investovali jsme peníze v bance, je získat zpět v případě potřeby.

Takové události jsou pravdivé. Máme-li splněny všechny nezbytné podmínky, je nutné získat očekávaný výsledek.

nemožný událost

Nyní uvažujeme prvky teorie pravděpodobnosti. Nabízíme jít do vyjasnění v těchto typů akcí - a to nemožné. Chcete-li začít stanovit nejdůležitější pravidlo - pravděpodobnost nemožný událost je nulová.

Z této formulace nelze vyloučit při řešení problémů. Pro ilustraci příklady takových událostí:

• Voda se zmrazí při teplotě navíc deseti (to je nemožné).
• Nedostatek elektrické energie nemá vliv na produkci (jak je možné jako v předchozím příkladu).

Další příklady jsou uvedeny není nutné, jak je uvedeno výše velmi jasně odráží podstatu této kategorii. Nemožný událost nikdy se stane v průběhu experimentu za žádných okolností.

náhodné události

Tím, že studuje prvky teorie pravděpodobnosti, zvláštní pozornost by měla být věnována na daný typ události. To jsou ti, kteří studují tuto vědu. Jako výsledek této zkušenosti něco může stát, nebo ne. Navíc test neomezený počet případů, kdy může být provedena. Pozoruhodné příklady obsahují:

• Hodit minci - to je zkušenost, nebo test, ztráta orla - tato událost.
• Tažení míčku ze sáčku slepě - testu, byl chycen červenou kouli - tuto událost a tak dále.

Takové příklady může být libovolný počet, ale obecně by měly být chápány. Shrnout a systematizovat získané poznatky o událostech z tabulky. teorie pravděpodobnosti studie jen druhý druh ze všeho představil.

zákony

Teorie pravděpodobnosti - věda, která studuje možnost ztráty každém případě. Stejně jako ostatní, že má nějaká pravidla. Tyto zákony teorie pravděpodobnosti:

• Konvergence posloupnosti náhodných proměnných.
• Zákon velkých čísel.

Při výpočtu možnost komplexu lze použít složité jednoduché události, aby se dosáhlo výsledků jednodušší a rychlejší způsob. Je třeba poznamenat, že zákony pravděpodobnosti lze snadno dokázal s pomocí některé z vět. Navrhujeme, aby se seznamuji s prvním zákonem.

Konvergence posloupnosti náhodných proměnných

Všimněte si, že konvergence několika typů:

• Sekvence náhodných proměnných konvergenci pravděpodobnosti.
• Téměř nemožné.
• konvergence RMS.
• Konvergence v distribuci.

Takže, za běhu, je velmi obtížné pochopit podstatu. Zde jsou definice, které vám pomohou pochopit téma. Chcete-li začít s první pohled. Sekvence se nazývá konvergence pravděpodobnosti, v případě, že následující podmínky: n se blíží k nekonečnu, číslo hledal sekvencí je větší než nula, a v blízkosti jednotky.

Přejděte k dalšímu pohledu, téměř jistě. Říká se, že posloupnost konverguje téměř jistě k náhodné proměnné s n tendenci k nekonečnu, a R, mají tendenci hodnotu blízkou jednotě.

Dalším typem - konvergence RMS. Při použití konvergence SC-learningové vektorových náhodných procesů snižuje ke studiu náhodných souřadnic procesů.

Byl poslední typ, pojďme stručně vypadat a přejít přímo k řešení problémů. Konvergence v distribuci má jiný název - „slabá“, pak se vysvětlit proč. Slabá konvergence - je konvergence rozdělení funkcí ve všech bodech spojitosti funkce omezení distribuce.

Ujistěte se, aby slib: slabá konvergence se liší od všeho předcházejícího vyplývá, že náhodná proměnná není definována na prostoru pravděpodobnosti. To je možné proto, že podmínka je vytvořeným výlučně pomocí distribučních funkcí.

Zákon velkých čísel

Velký pomocník v důkazu zákona bude věty teorie pravděpodobnosti, jako například:

• Čebyševova nerovnost.
• Čebyševova věta.
• Zobecněný Chebyshev věta.
• Markov teorém.

Pokud vezmeme v úvahu všechny tyto věty, pak problém může trvat i několik desítek listů. Máme hlavní úkol - je aplikace teorie pravděpodobnosti v praxi. Nabízíme vám právě teď a dělat to. Ale dříve, než budeme uvažovat o axiomy teorie pravděpodobnosti, jsou klíčovými partnery při řešení problémů.

axiomy

Od prvního dne, jsme již viděli, když mluví o nemožné události. Připomeňme si: pravděpodobnost nemožný událost je nulová. Příklad jsme dali velmi živé a zapamatovatelné: napadl sníh při teplotě vzduchu třicet stupňů Celsia.

Druhý je následující: určitá událost nastane jednotou pravděpodobnosti. Nyní si ukážeme, jak je psáno pomocí matematického jazyka: P (B) = 1.

Za třetí: náhodný událost se může stát, nebo ne, ale možnost je vždy pohybovat v rozmezí od nuly do jedné. Čím blíže je k jednotě, tím větší šance; pokud je hodnota blízká nule, pravděpodobnost je velmi nízká. Píšeme to v jazyce matematiky: 0

Vezměme si poslední, čtvrtý axiom, který zní: součet pravděpodobnosti dvou událostí se rovná součtu jejich pravděpodobností. Napsat matematické podmínky: P (A + B) = P (A) + P (B).

Tyto axiomy teorie pravděpodobnosti - je to jednoduché pravidlo, že nebude těžké si vzpomenout. Zkusme vyřešit některé problémy, na základě již nabytých znalostí.

los

Za prvé, za nejjednodušší příklad - v loterii. Představte si, že jste si koupili lístek do loterie pro štěstí. Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje nejméně dvacet rublů? Celková cirkulace je zapojena do několika tisíc lístků, z nichž jeden má cenu pět set rublů, deset sto rublů, dvacet a padesát rublů, a sto - pět. Úkolem teorie pravděpodobnosti založené na tom, jak najít způsob, jak štěstí. Teď spolu budeme analyzovat rozhodnutí nad pohledu úkoly.

Označíme-li odměnu ve výši pěti set rublů, pak pravděpodobnost, že se rovná 0,001. Jak se dostaneme? Stačí počet „šťastných“ vstupenky děleno celkovým počtem (v tomto případě: 1/1000).

In - ziskem sto rublů, pravděpodobnost se rovná 0,01. Nyní jsme jednali stejným způsobem jako poslední akce (10/1000)

C - výplata je dvacet rublů. Najděte pravděpodobnost, že se rovná 0,05.

Zbytek lístků Nemáme zájem, protože jejich výhrou je menší, než je uvedeno v podmínce. Použít čtvrtou axiom: Pravděpodobnost výhry alespoň dvacet rublů je P (A) + P (B) + P (C). Písmeno P označuje pravděpodobnost vzniku události, jsme v předchozích krocích již našel. Zbývá stanovit potřebná data, odpověď dostaneme 0,061. Toto číslo bude odpověď na otázku pracovních míst.

balíček karet

Problémy na teorii pravděpodobnosti, existují i složitější, například, vzít další práci. Než začnete palubě šestatřiceti karet. Váš úkol - k tomu dvě karty v řadě, aniž by se míchaly hromadu, první a druhá karty musí být esa, obleky nevadí.

Za prvé, najít pravděpodobnost, že první karta je eso, toto rozdělení čtyři třicet šest. Odložte stranou. Dostaneme druhá karta je eso s pravděpodobností tři sta třicet pětiny. Pravděpodobnost, že druhá akce závisí na tom, která karta jsme zastavili první, nás zajímá, to bylo eso, nebo ne. Z toho vyplývá, že v případě, závisí na události A.

Dalším krokem, který jsme zde pravděpodobnost současného provedení, tedy násobit A a B. Jejich práce je následující: pravděpodobnost jedné události vynásobené podmíněnou pravděpodobnost druhého, vypočítat, za předpokladu, že došlo k první události, tedy první karta jsme vytáhl eso.

Aby se mohl stát vše je jasné, dát označení takový prvek jako podmíněnou pravděpodobnost události. Je vypočten za předpokladu, že trasa A stalo. Se vypočte následujícím způsobem: P (B / A).

Máme rozšířit řešení našeho problému: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) nebo P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Pravděpodobnost je (4/36) _* ((3/35) / (4/36) se vypočítá zaokrouhlení na nejbližší setinu máme: .. _* 0,11 (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. pravděpodobnost, že jsme vytáhnout dvě esa v řadě je roven devět setin. hodnota je velmi malá, to znamená, že pravděpodobnost výskytu události je extrémně nízká.

zapomenuta pokoj

Nabízíme rozeznat některé další možnosti zaměstnání, která studuje teorii pravděpodobnosti. Příklady řešení některých z těch, které jste viděli v tomto článku, se snaží vyřešit následující problém: Chlapec zapomněl telefonní číslo pro poslední číslici svého přítele, ale protože volání bylo velmi důležité, pak začal vyzvednout jednoho po druhém. Musíme vypočítat pravděpodobnost, že bude požadovat nic víc než třikrát. nejjednodušší řešení tohoto problému, pokud znáte pravidla, zákony a axiomy teorie pravděpodobnosti.

Před vidíte řešení, snaží se řešit na vlastní pěst. Víme, že tento údaj může být od nuly do devíti, tedy celkem deset hodnot. Pravděpodobnost požadovaný počet bodů 1/10.

Vedle musíme vzít v úvahu možnosti vzniku události, předpokládejme, že ten kluk uhodl pravdu a získala právo, je pravděpodobnost takové události je rovna 1/10. Druhá možnost: první hovor skluzu, a druhý cíl. Počítáme pravděpodobnost takových událostí: 9/10 vynásobený 1/9 nakonec dostaneme jako 1/10. Třetí možnost: první a druhý hovor se ukázalo, že je špatné adresy, teprve třetí chlapec byl, kde chtěl. Vypočítat pravděpodobnost takových událostí: 9/10 vynásobený 8/9 a 1/8, získáme v důsledku 1/10. Další možnosti ovládání pro stav problému Nemáme zájem, to je i nadále pro nás stanovit tyto výsledky, nakonec máme 3/10. Odpověď: Pravděpodobnost, že chlapec by vyžadovalo více než třikrát, rovnající se 0,3.

Karty s čísly

Před sebou devět karet, z nichž každá je zapsána čísla od jedné do devíti, čísla se neopakovaly. Dali do krabice a důkladně promíchejte. Musíte vypočítat pravděpodobnost, že

• válcované sudý počet;
• dvoumístné.

Před tím, než k rozhodnutí stanovit, že m - je počet úspěšných případů a n - je celkový počet možností. Najděme pravděpodobnost, že číslo je sudé. Není těžké si spočítat, že sudá čísla čtyři, a to je naše m, všech devět možných variant, to znamená, že m = 9. Pak pravděpodobnost se rovná 0,44 nebo 4/9.

Domníváme se, že druhý případ, počet variant devět a úspěšný výsledek nemůže být vůbec, to znamená, že m je nula. Pravděpodobnost, že podlouhlá karta bude obsahovat dvouciferné číslo, jako nula.