Neurčitý integrál. Výpočet neurčitých integrálů

Jedním ze základních úseků matematické analýzy je integrální počet. To zahrnuje velmi široké pole objektů, kde první - je to neurčitý integrál. Pozice stojí jako klíč, který je ještě na střední škole odhaluje rostoucí počet vyhlídek a příležitostí, které popisuje vyšší matematiku.

vzhled

Na první pohled se zdá, naprosto nedílnou součástí moderní, místní, ale v praxi se ukázalo, že se vrátil v roce 1800 před naším letopočtem. Home oficiálně považován Egypt jako nedosáhl nám dřívější důkazy o jeho existenci. Je to z důvodu nedostatku informací, a přitom umístěna jednoduše jako fenomén. Znovu potvrzuje úroveň vědeckého rozvoje národů těch časů. A konečně, práce byly nalezeny starověké řecké matematiky, datovat se od 4. století před naším letopočtem. Popisují metodu, kde je neurčitý integrál, jehož podstatou bylo najít objem nebo oblast křivkového tvaru, (trojrozměrné a dvojrozměrné rovině, v daném pořadí). Výpočet byl založen na principu rozdělení původního obrázku do nekonečně složek, za předpokladu, že množství (oblast), je již známo, že je. V průběhu doby, tato metoda se rozrostla, Archimedes používal to, aby si plochu paraboly. Podobné výpočty současně provádět cvičení ve starověké Číně, kde byli zcela nezávislá z řeckého kolegy vědy.

vývoj

Dalším průlomem v XI století před naším letopočtem se stalo dílo arabského učence „vůz“ Abu Ali al-Basri, který tlačil hranice již známo, byly odvozeny z integrální vzorec pro výpočet sumy částek a stupňů od první do čtvrté, který žádá o to známe indukční metody.
Minds jsou dnes obdivovány staří Egypťané vytvořili úžasné památky bez použití speciálních nástrojů, s výjimkou, že z jejich vlastních rukou, ale není mocninou šílení vědci té doby neméně zázrak? Ve srovnání se současnými dobách jejich života se zdají téměř primitivní, ale rozhodnutí neurčitých integrálů odvodit všude a použít v praxi pro další rozvoj.

Dalším krokem se konala v XVI století, kdy italský matematik Cavalieri přinesl nedělitelnou metodu, která zvedl Per Ferma. Tyto dvě osobnosti položil základ pro moderní integrálního počtu, který je znám v tuto chvíli. Svázali pojmy diferenciálního a integrálního počtu, které byly již dříve pozorovány jako samostatné jednotky. Celkově vzato, matematika té době fragmentované částice zjištění existují samy o sobě, s omezeným použitím. Způsob, jak sjednotit a najít společnou řeč byla jediná pravda, v současné době, díky němu je moderní matematické analýzy měli příležitost růst a rozvíjet se.

S postupem času se všechno mění a integrální symbol stejně. Zkrátka a dobře, to bylo určeno vědci, kteří ve svém vlastním způsobem, například Newton používal čtvercovou ikonu, který dal integrovatelnou funkci, nebo prostě dát dohromady. Tento nepoměr trvala až do XVII století, kdy mezníkem pro celou teorii matematické analýzy vědce Gotfrid Leybnits zaveden takový charakter známe. Podlouhlá „S“ je vlastně na základě tohoto dopisu latince, protože označuje součet primitiv. Název integrál získané díky Jakob Bernoulli, po 15 letech.

Formální definice

Neurčitý integrál závisí na definici primitivní, takže považujeme v první řadě.

Primitivní - je inverzní funkce derivátu, v praxi se nazývá primitivní. Jinak: primitivní funkce d - je funkce D, což je derivát v <=> V ‚= v. Search primitivní je vypočítat neurčitý integrál, a samotný proces se nazývá integrace.

příklad:

Funkce S (y) = y ^3, a jeho primitivní S (y) = (y ^4/4).

Soubor všech primitiv o funkci - to je neurčitý integrál, označený to následujícím způsobem: ∫v (x) dx.

Na základě skutečnosti, že V (x) - jsou pouze některé primitivní původní funkci, výraz platí: ∫v (x) dx = V (x) + C, kde C - konstantní. V rámci libovolné konstanty se týká kterékoli konstantní, protože jeho derivát je nula.

vlastnosti

Vlastnosti, kterou mají neurčitý integrál, v podstatě na základě definice a vlastnosti derivátů.
Podívejme se na klíčové body:

• integrální derivát primitivní je sám o sobě a libovolná konstanta C <=> ∫V primitivní ‚(x) dx = V (x) + C;
• derivát integrálu funkce je původní funkce <=> (∫v (x) dx) ‚= V (x);
• konstanta je vyjmuta z pod integrálním znakem <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, kde k - je libovolný;
• integrál, který je převzat z součtu identicky rovná součtu integrálů <=> ∫ (v (y) + w (y)), dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Poslední dvě vlastnosti lze dospět k závěru, že neurčitý integrál je lineární. V důsledku toho máme: ∫ (kv (y) dy + ∫ LW (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Příklady míst, kterým se roztoky neurčitých integrálů.

Musíte najít integrální ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Z příkladu můžeme konstatovat, že nevíte, jak vyřešit neurčitých integrálů? Jen najít všechny primitiv! Ale hledání principů je popsáno níže.

Metody a příklady

Za účelem vyřešení integrál, můžete se uchýlit k následujícími způsoby:

• připraveni využít v tabulce;
• per partes;
• Integrovaný nahrazením proměnné;
• shrnující pod značkou diferenciálu.

stoly

Nejjednodušší a příjemný způsob. V současné době je matematická analýza se může pochlubit poměrně rozsáhlé tabulky, z nichž vysvětlené základní vzorec neurčitých integrálů. Jinými slovy, tam jsou šablony odvozené na vás a vy můžete vzít pouze jejich výhod. Zde je seznam hlavních tabulkových pozic, které lze zobrazit prakticky každý instance má řešení:

• ∫0dy = C, kde C - konstanta;
• ∫dy = y + C, kde C - konstanta;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, kde C - konstanta, a n - číslo odlišné od jednotky;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, kde C - konstanta;
• ^{∫e y dy = e y + C} , kde C - konstanta;
• ^{∫k y dy = (k r /} ln k) + C, kde C - konstanta;
• ∫cosydy = šíny + C, kde C - konstanta;
• ∫sinydy = -cosy + C, kde C - konstanta;
• ∫dy / cos ² y = TGY + C, kde C - konstanta;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, kde C - konstanta;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, kde C - konstanta;
• ∫chydy = plaché + C, kde C - konstanta;
• ∫shydy = Chy + C, kde C - konstantní.

Pokud je to nutné, provést několik kroků vést integrand do pohledu tabulky a nyní vítězství. Příklad: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Podle rozhodnutí je zřejmé, že například tabulka integrand postrádá multiplikátoru 5. přidáme ji souběžně s tímto vynásobením 1/5 na obecný výraz nezměnil.

Per partes

Uvažujme dvě funkce - Z (y) a X (y). Musí být nepřetržitě differentiable na svém oboru. V jednom vlastností diferenciačních máme: d (xz) = Xdz + ZDX. Integrace obou stranách, dostaneme: ∫d (xz) = ∫ (Xdz + ZDX) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Přepis výslednou rovnici, dostaneme vzorec, který popisuje způsob integrace za díly: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Proč je to nutné? Skutečnost, že některé z uvedených příkladů je možné zjednodušit, řekněme, ke snížení ∫zdx ∫xdz, pokud je tento v blízkosti formě tabulky. Také tento prostředek se může použít více než jednou, pro dosažení optimálních výsledků.

Jak řešit neurčitý integrál takto:

• nutné počítat ∫ (y + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1), e 2s DS = {z =} s + 1, DZ = ds, y = 1 ^{/ 2e 2S, dy = e 2x} ds} = ((y + 1) e ^2S) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((y + 1), e ^2S) / 2-e ^2s / 4 + C;

• musí počítat ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, DZ = ds / s, Y = S, Dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = S (LNS-1) + C.

Výměna proměnnou

Tento princip řešení neurčitých integrálů nejsou méně poptávky než předchozí dvě, ale složitější. Postup je následující: Je-li V (x) - integrál nějaké funkce D (x). V případě, že samo o sobě nedílnou v příkladu slozhnosochinenny přichází, je pravděpodobné, že se zmást a jít dolů špatné řešení trasy. Aby se předešlo této změny praxe z proměnné x do Z, ve kterém obecné vyjádření vizuálně zjednodušené, přičemž se udržuje zv závislosti na x.

Matematicky vyjádřeno, je následující: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y ‚(z) dz = V (z) = V (y 1 (x)), kde x = y ( z) - substituce. A samozřejmě, inverzní funkce z = y ¹ (x) plně popisuje vztah a vztah proměnných. Důležitá poznámka - diferenciál dx nutně vyměnit za novou diferenciální dz, protože substituce v neurčitý integrál zahrnuje jej nahradí všude, nejen v integrandu.

příklad:

• musí najít ∫ (y + 1) / (y ² + 2s - 5) ds

Použít substituci z = (y + 1) / (y ² + 2s-5). Pak dz = 2sds = 2 + 2 (y + 1) ds <=> (y + 1) ds = dz / 2. V důsledku toho se následující výraz, který je velmi snadno spočítat:

∫ (y + 1) / (S ² + 2s-5), DS = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• musíte najít integrální ∫2 ^s e ^s dx

Vyřešit přepsat v následujícím tvaru:

^{∫2 S e s DS = w (} 2E) s DS.

Označíme a = 2e (výměna argumentu tento krok není, to je ještě s), dáváme naše zdánlivě komplikované nedílnou součástí základní tabulkové formě:

^{∫ (2e) s DS = ∫a} s ds = S / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + c = 2 ^s e ^s / (In2 + 1) + C.

Shrneme-li diferenciální znamení

Zkrátka a dobře, tato metoda neurčitých integrálů - dvojče principu substituce, ale existují rozdíly v procesu registrace. Zvažme podrobněji.

Pokud ∫v (x) dx = V (x) + C a y = z (x), pak ∫v (y) dy = V (y) + C

Zároveň nesmíme zapomenout na triviální integrální transformace, mezi něž patří:

• dx = d (x + a), a přičemž - každý konstantní;
• dx = (1 / a) d (ax + b), kde - opět konstantní, ale nejsou nula;
• XDX = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Pokud vezmeme v úvahu obecný případ, kdy počítáme neurčitý integrál, příklady mohou být zahrnuty pod obecným vzorcem w ‚(x) dx = dw (x).

příklady:

• musí najít ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2S + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.

Online nápověda

V některých případech je to chyba, které se mohou stát nebo lenost, nebo naléhavá potřeba, můžete použít on-line nápovědu, či spíše používat kalkulačku neurčitých integrálů. Přes zdánlivou složitost a kontroverzní povaze integrálů, rozhodnutí je podmíněno jejich konkrétní algoritmus, který je založen na principu „pokud ne ... pak ...“.

Samozřejmě, že zvláště složité příklady takových kalkulačky nebude zvládnout, protože tam jsou případy, kdy rozhodnutí musí najít uměle „nuceni“ zavedením některé prvky v procesu, protože výsledky jsou zřejmé způsoby, jak dosáhnout. Přes kontroverzní povaha tohoto tvrzení, je to pravda, jak matematiky v zásadě abstraktní věda, a jeho hlavním cílem toho názoru, že je třeba posílit hranice. Ve skutečnosti, pro hladký běh-in teorií je velmi obtížné se pohybovat nahoru a vyvíjejí, takže nepředpokládejte, že příklady řešení neurčitých integrálů, které nám dal - to je výška příležitostí. Ale zpět k technickou stránku věci. Alespoň zkontrolovat výpočty, můžete použít službu, ve kterém bylo napsáno pro nás. Je-li potřeba pro automatický výpočet komplexních výrazů, pak nemají uchýlit k vážnější softwaru. By měly věnovat pozornost především na životní prostředí MATLAB.

přihláška

Rozhodnutí neurčitých integrálů na první pohled zdá být zcela odtržené od reality, protože je obtížné si představit zřejmý využití letadla. Ve skutečnosti, přímo použít všude tam, kde nejde, ale jsou nezbytným mezičlánek v procesu odebrání řešení používaných v praxi. To znamená, že integrace zadní diferenciace, čímž se aktivně účastní procesu řešení rovnic.
Na druhé straně, tyto rovnice mají přímý dopad na rozhodnutí mechanických problémů, výpočet trajektorie a tepelné vodivosti - zkrátka vše, co představuje současnost a utváření budoucnosti. Neurčitý integrál, příklady kterého jsme se zabývali výše, triviální jen na první pohled, jako základ pro provádění více a více nových objevů.