Extrémní funkce - v jednoduchém jazyce o komplexu

Abychom pochopili, jaké jsou extrémní body funkce, není nutné vědět o přítomnosti prvního a druhého derivátu a pochopit jejich fyzický význam. Nejprve musíte pochopit následující:

• Extrémy funkce maximalizují nebo naopak minimalizují hodnotu funkce v libovolném malém sousedství;
• V extrémním bodě by neměla docházet k diskontinuitě funkce.

A teď to samé, jen v jednoduchém jazyce. Podívejte se na špičku tyče kuličkového pera. Pokud je rukojeť umístěna svisle, psaní skončí, pak bude střed kuličky extrémem - nejvyšším bodem. V tomto případě hovoříme o maximu. Nyní, pokud otočíte pero s koncem pro psaní, bude na středu míče již minimální funkce. Pomocí zde uvedeného obrázku můžete odeslat uvedené manipulace s papírovou tužkou. Takže extrémy funkce jsou vždy kritické body: její maxima nebo minima. Sousední část grafu může být libovolně ostrá nebo hladká, ale musí existovat na obou stranách, pouze v tomto případě je bod extrémem. Pokud je graf přítomen pouze na jedné straně, tento extrém se neobjeví ani v případě, že na jedné straně jsou splněny extrémní podmínky. Nyní budeme studovat extrémy funkce z vědeckého hlediska. Aby byl bod považován za extrémní, je nezbytné a postačující, aby:

• První derivát se rovnal nule nebo v daném okamžiku neexistoval;
• První derivát změnil své znamení v tomto okamžiku.

Podmínka je upravena poněkud jinak než z pohledu derivátů vyšších řádů: pro funkci, která je v určitém bodě diferencovaná, postačí, že existuje derivát liché objednávky, který není rovný nule, za předpokladu, že všechny deriváty nižšího řádu musí existovat a být nulové. Toto je nejjednodušší interpretace věty z učebnic vyšší matematiky. Ale pro ty nejobvyklejší lidi stojí za to vysvětlit tento příklad. Základem je obyčejná parabola. Okamžitě provést rezervaci, v nulovém bodě má minimum. Velmi málo matematiky:

• První derivát (X ² ) = 2X, pro nulový bod 2X = 0;
• Druhý derivát (2X) ^| = 2, pro nulový bod z = 2.

Prostřednictvím tohoto jednoduchého způsobu jsou ilustrovány podmínky, které určují extrémy funkce pro deriváty prvního řádu a deriváty vyššího řádu. K tomu lze dodat, že druhý derivát je přesně stejný derivační derivát, který není rovný nule, který byl zmíněn výše. Pokud jde o extrémy funkce dvou proměnných, podmínky musí být splněny pro oba argumenty. Při generalizaci se používají soukromé deriváty. To znamená, že je nutné mít v určitém bodě extrém, takže oba deriváty prvního řádu jsou nulové nebo alespoň jeden z nich neexistuje. Pro dostatečnost přítomnosti extrému se považuje výraz, který je rozdílem produktu derivátů druhého řádu a čtverce smíšeného derivátu druhé funkce funkce. Je-li tento výraz větší než nula, pak se vyskytuje extrém a pokud je nulová rovnost, zůstává otázka otevřená a je zapotřebí dalšího výzkumu.