Vzdělání:Věda

Pátý postulát Euclidu: formulace

Předpokládá se, že první lidské civilizace se objevily před 10 000 lety. Ve srovnání s věkem naší planety, která je podle vědců asi 4,54 milionu let, je to jen krátký okamžik. Pro tento "okamžik" lidstvo udělalo obrovský skok od primitivních kamenných nástrojů k meziplanetárním kosmickým lodím. Bylo by nemožné, kdyby se čas od času na planetě nevznikly géniové, pohybující se vědy dopředu. Mezi nimi je samozřejmě Euclid. Jeho práce se staly základem a silným impulsem pro rozvoj moderní matematiky.

Tento článek je věnován pátému postulátu Euclid a jeho historii.

Jak geometrie

Vzhledem k tomu, že se pozemky staly předmětem prodeje a pronájmu, musela být měřena jejich velikost a plocha, včetně výpočtů. Kromě toho se tyto výpočty staly nezbytnými pro konstrukci velkoplošných konstrukcí i pro měření objemu různých položek. To vše se stalo předpokladem pro vznik umění zeměměřictví v Egyptě a Babylonii před 3-4 tisíciletími. Bylo to empirické a představovalo soubor příkladů řešení několika set specifických problémů bez jakýchkoli důkazů.

Jako systematická věda se geometrie vyvinula ve starověkém Řecku. Do třetího století před naším letopočtem bylo velké množství faktů a důkazů. Současně se objevil úkol generalizovat shromážděný poměrně rozsáhlý geometrický materiál. Snažila se řešit Hippocrates, Fediy a další starověké řecké filozofy. Nicméně, logicky upravený vědecký systém se objevil asi kolem 300 př.nl. E. S vydáním "prvků".

Kdo byl Euclid

Starověké Řecko dalo světu mnoho z největších filozofů a vědců. Jedním z nich je Euclid, který se stal zakladatelem Alexandrijské matematické školy. Prakticky se o samotném vědci nic neví. Některé zdroje naznačují, že budoucí otec moderní geometrie studoval na slavné škole Platona v Aténách a poté se vrátil do Alexandrie, kde pokračoval ve studiu matematiky a optiky a také psal hudbu. Ve svém rodném městě založil školu, kde spolu se svými studenty vytvořil slavné dílo, které je po více než dvě tisíciletí základem jakékoliv učebnice o planimetrii a stereometrii.

"Začátek" Euclidu

Hlavní a nejdůslednější práce na geometrii se skládá ze 13 svazků. První a čtyři knihy se zabývají planimetrií a 11., 12. a 13. jsou stereometrie. Co se týče zbývajících svazků, jsou věnovány aritmetice, která je dána geometrickými postuláty.

Úloha Euclidovy hlavní práce v následném vývoji matematických věd nemůže být nadhodnocena. Několik seznamů papyru z původních i byzantských rukopisů se dostalo k nám.

Ve středověku byly "elementy" Euclidu studovány především Araby, kteří je považovali za jednu z největších prací lidského myšlení a vědce samotného obyvatelem Damašku. O hodně později tyto práce zajímají Evropany. S příchodem tisku věda včetně geometrie Euclidu přestala být majetkem pouze vyvolených. Po prvním vydání v roce 1533 se "Elements" stal dostupným každému, kdo chtěl poznat svět, a každý rok se stal stále více a více. Poptávka vyvolala návrh, a proto se věří, že tato práce je druhým z nejčtenějších starověkých památek po Bibi.

Některé funkce

"Počátky" popisují metrické vlastnosti trojrozměrného, prázdného, nekonečného a izotropního prostoru, který se běžně nazývá Euclidean. Je považována za arénu, kde se objevují fenomény klasické fyziky Galileo a Newton.

Elementární geometrický objekt, podle Euclidu, je bod. Druhým důležitým pojmem je nekonečno prostoru, který je charakterizován prvními třemi postuláty. Čtvrtý se týká rovnosti pravých úhlů. Pokud jde o pátý postulát Euclidu, určuje vlastnosti a geometrii euklidovského prostoru.

Podle vědců otec klasické geometrie vytvořil perfektní učebnici, ve studii, která je vyloučena z nedorozumění materiálu, a to způsobem, jakým je prezentován. Zvláště každý počátek "Začátek" začíná definicí pojmů, které se poprvé setkaly. Z prvních stránek první knihy se čtenář dozví, jaký je bod, řádek, řádek atd. Ve všech případech existuje 23 definic potřebných k pochopení hlavních bodů materiálu prezentovaného v této základní práci.

Axiomy a první čtyři postuláty Euclidu

Po definicích autor "Nachal" cituje návrhy, které jsou přijaty bez důkazu. Rozdělí je do axiomů a postulátů. První skupina se skládá z 11 prohlášení, které jsou osobě intuitivně známy. Například osmý axiom uvádí, že celek je větší než část a podle prvního jsou dvě stejné množství, které jsou odděleně stejné jako třetí.

Navíc Euclid dává 5 postulátů. První čtyři četli:

  • Z jakéhokoli místa na jiný může nakreslit přímku;
  • Z jakéhokoli středu libovolného poloměru je možné popsat kruh;
  • Omezená čára může pokračovat nepřetržitě podél přímky;
  • Všechny správné úhly jsou stejné.

Pátý postulát Euclidu

Po více než dvě tisíciletí se toto prohlášení opakovaně stalo předmětem pečlivé pozornosti matematiků. Nejprve se však seznámíme s obsahem pátého postulátu Euclidu. Takže v moderní formulaci to zní takto: pokud je v rovině s průsečíkem dvou přímých linií třetí součet jednostranných vnitřních úhlů menší než 180 °, pak se tyto přímé linie dříve nebo později protínají na straně, s níž je tato hodnota (součet) menší než 180 °.

Pátý postulát Euclidu, jehož formulace v různých zdrojích je dána odlišně, od počátku způsobila sport a touhu překládat ji do kategorie věty budováním důvěryhodného důkazu. Mimochodem, je často nahrazen jiným výrazem, který skutečně vynalezl Proclus a je také znám jako axiom hry Playfair. Říká se, že v rovině přes bod, který nepatří k dané čáře, je možné nakreslit jednu a pouze jednu přímku rovnoběžnou s touto.

Formulace

Jak již bylo řečeno, mnoho vědců se pokusilo jinak vyjádřit myšlenku 5. postulátu Euclidu. Mnoho formulací je zcela zřejmé. Například:

  • Přijíždějící přímé linie se protínají;
  • Existuje nejméně jeden obdélník, to je 4-gon se čtyřmi pravými úhly;
  • Každé číslo může být proporcionálně zvýšeno;
  • Existuje trojúhelník, který má libovolnou oblast libovolné velikosti, která je libovolně velká.

Nevýhody

Geometrie Euclidu se stala největším matematickým dílem starověku a až do 19. století vládla nejvyšší v matematice. Navzdory tomu některé jeho nedostatky zaznamenaly současní autoři a starověcí řečtí učenci, kteří o něco později žili. Archimedes zejména přidal novou axiom, pojmenovanou po něm. Říká se, že pro všechny segmenty AB a CD existuje přirozené číslo n takové, že n · [AB]> [CD].

Navíc vědci usilovali o minimalizaci systému euklidovských postulátů a axiomů. Aby toho udělali, zbyly některé z ostatních.

Takže bylo možné "zbavit se" 4. postulátu o rovnosti pravých úhlů. Pro něj byl nalezen přísný důkaz, který z něj činil teoretika.

Historie 5. postulátu ve starověku av raném středověku

Klasická formulace tohoto prohlášení o geometrii Euclida se zdá mnohem méně zřetelná než ostatní čtyři. To byla tato okolnost, která se neobtěžovala matematikům.

Prolomením pro pátý postulát Euclidu byla samotná definice rovnoběžnosti dvou přímých linek a a b, která říká, že součet dvou jednostranných úhlů, které jsou tvořeny průsečíkem a a b třetí přímkou c, je 180 stupňů.

První pokus dokázat to jako teorém byl proveden starověkým řeckým geometrem Posidonius. Navrhl, aby soustava všech bodů v rovině, která jsou ve stejné vzdálenosti od původní roviny, byla považována za přímku rovnoběžnou s danou. Nicméně ani to neumožnilo Posidonii najít důkazy o 5. postulátu.

Pokusy jiných matematiků, včetně středověkých, například Arabů Ibn Korry a Hayam, nevedly k ničemu. Jediné, co bylo dosaženo, je vznik nových postulátů, které jsou prokázány s přihlédnutím k různým předpokladům.

V 18.-19. Století

Klasická geometrie nadále zaujímala matematiky v 18. století. Zejména francouzský matematik A. Legendre se dokázal přiblížit k důkazu axiomu euklidovské rovnoběžnosti. Jeho pero patří do vynikající učebnice "Počátky geometrie", která byla asi 150 let hlavní výukou matematiky ve školách Ruské říše. V tom vědec dal tři varianty důkazu euklidovské axiomu paralelismus, ale všechny se ukázaly jako nesprávné.

Počátkem 19. století vznikla myšlenka vytvářet neeuklidovskou geometrii. První popis systému, který nezávisí na pátém postulátu, byl dán vojenským inženýrem J. Boyayem. Ale on sám byl vystrašen z jeho objevu a nevyvinul tento nápad, považoval to za chybné. Velký německý matematik K. Gauss také nedokázal dosáhnout úspěchu.

Průlom

Po více než 2000 let zůstává pátý postulát Euclidu, důkaz, o který se stovky vědců pokoušeli najít, nejdůležitějším problémem matematiky. Průlom byl proveden ruským matematikem NI Lobachevským. On byl první na světě, který popisoval vlastnosti reálného prostoru, což dokazuje, že Euclidova geometrie "funguje" pouze v konkrétním případě jeho systému.

NI Lobačevský zpočátku sledoval stejnou cestu jako jeho kolegové. Snažím se dokázat 5. postulát, neuspěl. Vědec pak opustil euklidovskou představu, podle níž součet úhlů trojúhelníku je 180 stupňů. Dále začal prokázat toto tvrzení z opaku a dostal novou formulaci pro pátý postulát. Nyní nechal existenci několika linek rovnoběžných s daným a procházejících bodem ležícím mimo tuto linii.

Nová geometrie

Nemá smysl diskutovat o tom, kdo dělal více pro matematiku. Úloha Euclida a Lobachevského je srovnatelná s vlivem na formování a vývoj fyziky Newtona a Einsteina. Současně nám nová, absolutní geometrie dovolila vzít v úvahu koncept prostoru, který se odděluje od klasické metody "mohu jen pochopit, co mohu měřit". Ale toto je přístup, který se ve vědě praktikoval po mnoho tisíciletí.

Bohužel nápady Lobachevského geometrie nebyly vnímány a pochopeny současníky. Zvláště jeho studenti nepokračovali v práci vědce a vývoj neevluidské geometrie byl odložen na několik desetiletí.

Některé rysy Lobachevské teorie

Abychom pochopili novou geometrii, musíme zvážit cosmickou nekonečnu. Je skutečně těžké si představit, že nekonečný vesmír je součet přímočarých prostorů.

Geometrie Lobachevského se používá k popisu křivočarých prostorů, které vytvářejí gravitační pole galaxií. Umožnila se vyhnout se způsobu, jak snížit všechny postavy na "přibližně pravý" válec, kruh, pyramid nebo libovolnou kombinaci těchto čísel. Koneckonců, naše planeta ve skutečnosti není koulí, ale geoid, to je postava, která se získává načrtnutím vnějšího obrysu litosféry Země (pevná skořápka).

V reálném životě existují analogy křivočarých prostor vesmíru, které dovolují představit si možnost existence několika přímých paralelních, procházejících jedním bodem. Zejména jsou to zakřivené plochy tří typů, které se vyznačují italskou geometrií E. Beltrami a nazývají se pseudosféry.

Další vývoj Lobačovského teorie

Vynikající Rus nebyl jediný, kdo navrhl, že euklidovská geometrie není absolutní. Zejména matematik B. Riemann v roce 1854 rozšířil myšlenku na existenci prostorů nulového, pozitivního a negativního zakřivení. To znamená, že je možné vytvořit nekonečné množství různých neklasických geometrií.

Z pozice B. Riemanna, který studoval především prostory s pozitivním zakřivením, znělo celkem neočekávaně 5. postulát Euclidu. Podle jeho myšlenek nemůže být přímka protažena přes bod mimo tuto čáru, která je rovnoběžná s danou čárou.

Situace se zcela liší podle nulových, negativních a pozitivních zakřivení podle Kleinovy teorie. Zejména jsou v prvním případě popsány parabolickou geometrií, jejíž zvláštní případ je klasický, ve druhém případě se řídí nápady Lobachevského a ve třetím případě odpovídají vlastnostem popsaným Riemannem.

Po publikování teorie relativity Albert Einstein byly koncepty takových prostor doplněny o údaje, které zohlednily existenci čtyř vzájemně závislých a měnících se dimenzí - hmoty, energie, rychlosti a času.

V praxi

Pokud půjdeme k lidskému vnímání prostoru, pak v rámci pozemské oběžné dráhy obřího trojúhelníku je největší možná odchylka součtu vnitřních úhlů od klasických 180 stupňů pouze čtyři miliontiny sekundy. Taková hodnota je mimo schopnosti homo sapiens, takže Euclidova geometrie je v poptávce po "pozemských".

Zbývá počkat na vytvoření podmínek, které umožňují získat experimentální data, která potvrdí nebo vyvracejí teorie N. Lobachevského a B. Riemanna v měřítku Galaxie.

Nyní víte, že deklaruje pátý postulát o Euclidu a jeho historii, což je velmi poučné a umožňuje vysledovat vývoj lidského myšlení za posledních 2300 let.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 cs.delachieve.com. Theme powered by WordPress.