Boolean algebra. algebra logiky. Základy matematické logiky

V dnešním světě jsme stále více využívají celou řadu strojů a pomůcek. A ne pouze tehdy, pokud je nezbytné aplikovat doslova nadlidskou sílu: přesunout zátěž jej zvednout do výšky, vykopat dlouhý a hluboký příkop, atd. Auta dnes sbírat roboty, jídlo se vaří Multivarki a základní výpočty aritmetické vyrábět kalkulačky ... Stále častěji slyšíme frázi „Boolean algebra“. Možná nadešel čas k pochopení role lidských bytostí při vytváření robotů a strojů schopnost řešit nejen matematických, ale i logické problémy.

logika

V řecké logiky - spořádaný systém myšlení, který vytváří vztah mezi daným podmínkám a umožňuje dělat závěry založené na předpokladech a odhadech. Poměrně často se ptáme sebe: „Je to logické,“ Odpověď potvrzuje naše předpoklady, nebo kritizuje myšlenek. Ale proces nekončí: budeme i nadále mluvit.

Někdy je řada podmínek (vstup) je tak velký, a vztah mezi nimi je tak matoucí a složité, že lidský mozek není schopen „strávit“ najednou. Pro pochopení toho, co se děje, můžete potřebovat více než jeden měsíc (týden, rok). Ale moderní život nedává tyto časové intervaly, aby učinil rozhodnutí. A my jsme se uchýlit k pomoci počítačů. A je to tady, že je algebra a logika, se svými zákony a vlastnostmi. Po stažení všech původních dat, necháme počítač rozpoznat všechny vztahy, odstranit rozpory a najít uspokojivé řešení.

Matematika a logika

Slavné Gotfrid Vilgelm Leybnits formulován pojem „formální logice“, které úkoly byly srozumitelné jen malý okruh vědců. Zvláště zajímavé je směr nezpůsobil, a až do poloviny XIX století matematické logiky známá málo.

Velký zájem o vědecké komunitě způsobila spor, ve kterém Angličan Dzhordzh Bul deklarovaný úmysl zřídit pobočku matematiky, které nemají absolutně žádné praktické využití. Jak víme z historie, v současné době aktivně rozvíjí průmyslová výroba, jsme vyvinuli všechny druhy pomocných zařízení, t. E. Všechny vědecké objevy měly praktickou orientaci.

Při pohledu do budoucna, můžeme říci, že logická algebra - nejpoužívanější na světě, dnes část matematiky. Takže vaše tvrzení Buhl ztracena.

Dzhordzh Bul

Osobnost autora si zaslouží zvláštní pozornost. Dokonce i vzhledem k tomu, že v minulosti lidé vyrostl před námi, stále je třeba poznamenat, že v 16 letech John. Buhl učil na vesnické škole a až 20 let otevřel vlastní školu v Lincoln. Matematik dokonale zvládnutou pět cizích jazyků, a ve svém volném čase, četl díla Newton a Lagrange. A to vše - na syna obyčejného pracovníka!

V roce 1839, Buhl poslal své první vědeckých prací v Cambridge Mathematical Journal. Vědec otočil 24 roků. Booleova práce je tak zainteresované členy královské společnosti, v roce 1844 ho obdržel medaili za jeho přínos k rozvoji matematické analýzy. Několik publikovaných prací, v nichž jsou prvky matematické logiky, matematiky povoleno mladý vzít post profesora na College of Cork County byly popsány. Připomeňme, že na velmi Boole vzdělání nebyl.

idea

V zásadě platí, Booleova algebra je velmi jednoduché. K dispozici jsou výkazy (logické výrazy), že z pohledu matematiky, mohou být definovány pouze ve dvou slovech: „true“ nebo „false“. Například stromů na jaře kvetou - pravda, v létě sněží - lež. Krása matematiky je, že to není nezbytně nutné používat pouze čísla. Pro rozhodnutí algebry docela fit žádná prohlášení s unikátní smysl.

To znamená, že algebra logiky lze použít doslova všude: v plánovacím a psaní instrukce, analýza protichůdných informací o událostech a stanovení posloupnosti akcí. Nejdůležitější věc - si uvědomit, že nezáleží na tom, jak zjistit pravdu, nebo nepravdivost prohlášení. Z těchto „jak“ a „proč“ je třeba ignorovat. Na čem záleží, je jen konstatování faktu: pravda je lež.

Samozřejmě, programování nejdůležitější funkce algebry logiky, které jsou zaznamenány s odpovídajícími znaky a symboly. A naučit je - to znamená naučit nový cizí jazyk. Nic není nemožné.

Základní pojmy a definice

Aniž bychom se pouštěli do hloubky zabýváme terminologie. Takže, Boolean algebra předpokládá:

• prohlášení;
• logické operace;
• Funkce a zákony.

Prohlášení - jakékoliv kladné výraz, který může být interpretován dvouhodnotové. Jsou psány jako čísla (5> 3) nebo formulovaných známých slov (sloní - největší savce). V tomto případě je výraz „krk žirafa není“ má také právo na existenci, pouze Boolean algebra definují jako „lži.“

Všechna prohlášení by mělo být jednoznačné, ale mohou být základní nebo sloučeniny. Nedávné užití logický svazek. E. Ve sloučenině závěrka algebry rozsudků vytvořeného přidáním základních logických operací.

Boolean algebra operace

Už jsme si uvědomit, že operace v algebře rozhodnutí - logické. Stejně jako algebry čísel pomocí aritmetické operace sčítání, odčítání, nebo porovnat čísla, matematické logiky prvky umožňují vytvořit komplexní příkazy, popírat nebo pro výpočet konečného výsledku.

Logické operace pro formalizaci a jednoduchosti vyjádřené vzorcem, známe v aritmetice. Vlastnosti Booleova algebra rovnic, aby bylo možné zaznamenat a vypočítat neznámé. Logické operace jsou obvykle zaznamenány pravdivostní tabulky. Jeho prvky definuje sloupce a provoz výpočetní který je vykonáván na nich, a řádky ukazují výsledky výpočtů.

Základní logika akce

Mezi nejčastější v booleovské algebry operace jsou negace (NOT) a logické AND a OR. Takže je možné popsat prakticky všechny kroky v algebře rozsudků. Studovali jsme v detailu každé ze tří operací.

Negace (ne) se aplikuje pouze na jeden prvek (operandu). Proto operace se nazývá unární negace. Chcete-li nahrávat pojem „ne“ za použití těchto symbolů: ¬A, A nebo A !. Ve formě tabulky vypadá takto:

Funkce popření typické pro takové prohlášení: Je-li to pravda, pak A - je falešný. Například Měsíc obíhá kolem Země - pravdu; Země obíhá kolem Měsíce - lež.

Logické násobení a přidání

Logické AND operace se nazývá konjunkce. Co to znamená? Za prvé, že to může být aplikován na dva operandy, tedy I - .. Binární operace. Za druhé, to je pouze v případě, že o pravdivosti oba operandy (oba A a B) je pravdivé a samotný výraz. Přísloví „Trpělivost a trochu úsilí,“ naznačuje, že pouze dva faktory mohou pomoci člověku vyrovnat se s obtížemi.

symboly jsou použity pro záznam: A∧B, A⋅B nebo A && B.

Spojení je podobný násobení v aritmetiky. Někdy se i říci - logický součin. Máte-li násobit prvky řádků v tabulce, získáme podobný výsledek jako logického myšlení.

Disjunkce je logická operace OR. Je pravda, pokud alespoň jeden z tvrzení je pravdivé (A nebo B). To je psáno takhle: A∨B, A + B nebo A || B. Pravda tabulky pro tyto operace jsou následující:

Disjunkce podobné aritmetické sčítání. logické operace sčítání má pouze jedno omezení: 1 + 1 = 1. Ale my jsme si uvědomit, že v digitálním formátu je omezena na matematické logiky 0 a 1 (kde 1 - pravda, 0 - false). Například tvrzení „v muzeu můžete vidět dílo nebo najít dobrou společnost“ znamená, že to, co vidíte, uměleckých děl, a je možné se setkat zajímavý člověk. Ve stejné době, nevylučují možnost současného splnění obou akcí.

Funkce a zákony

Takže už víme, co je logické operace s použitím Boolean algebra. Funkce popisuje všechny vlastnosti prvků matematické logiky, a nám umožňují zjednodušit složité složené příkazy. Nejvíce jasný a jednoduchý zdá odmítnutí vlastnictví operací s deriváty. Deriváty se rozumí XOR, důsledky a ekvivalence. Jak jsme již četl jen se základními funkcemi, a pak vlastnost je také zvážit, je jediný.

Asociativita znamená, že v prohlášení, jako je „obě A a B, a výpis sekvence B‘ z operandů nezáleží. Vzorec je zapsán takto:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Jak můžete vidět, že to není jedinečné konjunkci ale disjunkce.

Commutativity tvrdí, že výsledkem spojení nebo disjunkce nezáleží, na kterém byl bod považován od počátku:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity umožňuje zveřejnit závorky ve složitých logických výrazů. Pravidla jsou podobné levou závorku v násobení a navíc v algebry:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

vlastnosti jednotky a poškrábání, který může být jedním z operandů jsou také podobné algebraického násobení nula nebo jedna, a přidáním jednotky:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotence nám říká, že v případě relativně dva stejné operandy výsledek operace je stejná, můžete si „hodit“ přebytečné komplikovat uvažování operandy. A konjunkce a disjunkce operace jsou idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Akvizice nám také umožňuje zjednodušit rovnice. Absorpce se uvádí, že když je exprese vztahující se na jeden operand, další operace se stejným prvkem výsledku operandu absorbuje provoz.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

sled operací

Sled operací má velký význam. Ve skutečnosti, pokud jde o algebry, tam je prioritou funkce, která používá Boolean algebra. Rovnice může být zjednodušena pouze s výhradou významu operací. Pořadí nejvýznamnější k zanedbatelné, získáme následující sekvenci:

1. Denial.

2. Spojení.

3. disjunkce, XOR.

4. Z toho vyplývá, ekvivalence.

Jak můžete vidět, pouze negaci spojení a nemají stejnou prioritu. Prioritou k rozpojení a XOR jsou si rovny, stejně jako priority implikace a ekvivalence.

Funkce implikace a ekvivalence

Jak jsme již řekli, kromě základních logických operací, matematické logiky a teorie algoritmů s využitím derivátů. To je nejvíce často implikace a ekvivalence.

Z toho vyplývá, nebo logický důsledek - toto prohlášení, ve kterém jedna akce je stav, a další - v důsledku jeho provádění. Jinými slovy, tento návrh se záminkou, že „jestliže ... pak“. „Po večeři přichází zúčtování.“ E. Pro jízdu musí být utaženy na sáňkovat kopce. Není-li ochota pohybovat se dolů z hory, a pak přetáhněte sáně není nutné. Je napsáno takto: A → B nebo A⇒B.

Ekvivalence vyplývá, že čistý efekt nastává pouze v případě, že jsou splněny oba operandy. Například noc ustupuje dni poté (a pouze tehdy), když je slunce nad obzorem. V řeči matematické logiky tohoto tvrzení je napsán jako A≡B, A⇔B, A == B.

Jiné zákony Booleovy algebry

úsudek algebra se vyvíjí, a mnozí mají zájem vědců formulovat nové zákony. Nejznámější jsou považovány postuluje skotský matematik O. De Morgan. Všiml si, a dal definici takových vlastností, jako úzké negaci, sčítání a dvojí zápor.

Zavřít odmítnutí naznačuje, že před tím, než závorka popřít: ne (A nebo B) = ne A nebo B. NOT

Je-li operand odepřen, bez ohledu na jeho hodnotu, řekněme o přidání:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

A konečně, dvojitá negace sám kompenzuje. tj předtím jeden operand negace zmizí, nebo zůstane jen jedna.

Jak řešit testy

Logika znamená zjednodušení předem stanovené rovnice. Stejně jako ve lži algebře, je nutné maximálně usnadnit první podmínku (jak se zbavit komplikovaných vstupních operací, a spolu s nimi), pak začít hledat správnou odpověď.

Co dělat, aby zjednodušit? Převést všechny deriváty v jednoduchém provozu. Pak odhalit všechny závorky (nebo naopak, aby se držáky ke snížení tohoto prvku). Dalším krokem by mělo být použití logické vlastnosti algebry v praxi (absorpční vlastnosti nulou a jedničkou, a t.).

Nakonec, rovnice by měl sestávat z minimálního počtu neznámých, v kombinaci s jednoduchých operací. Nejjednodušší způsob, jak hledat řešení, pokud uděláte velké množství blízkých negativů. Pak odpověď vyskočí jakoby sám od sebe.